Esercizi sui vettori
Esercizi online e gratuiti sui vettori
In questa sezione del sito sono proposti esercizi sui vettori.
La raccolta degli esercizi sui vettori di seguito proposta è rivolta sia agli studenti universitari delle facoltà scientifiche che agli studenti di licei ed istituti tecnici.
Prima di iniziare a svolgere gli esercizi sui vettori trattiamo le nozioni fondamentali correlate al concetto di vettore e le principali operazioni algebriche che li coinvolgono.
Un vettore è rappresentato da un segmento orientato dotato di:
- modulo
- direzione
- verso
e viene di solito indicato con una lettera sormontata da una freccia.
Ogni vettore è scomponibile nelle sue due componenti principali x ed y se rappresentato in un sistema di assi cartesiano su di un piano a 2 dimensioni:
In particolare detto V il modulo del vettore e θ l'angolo che forma lo stesso con l'asse orizzontale si ha che:
Vx = V · cosθ
Vy = V · sinθ
Il vettore V può essere dunque indicato a partire dalle sue componenti:
V = (Vx; Vy)
Ricordiamo infine che le principali operazioni effettuabili con i vettori sono:
- la somma
- la differenza
- il prodotto scalare
- il prodotto vettoriale
Ti mettiamo inoltre disposizione una calcolatrice online e gratuita utile per svolgere i calcoli degli esercizi: calcolatrice scientifica.
Esercizi sui vettori
Di seguito gli esercizi sui vettori elencati secondo un ordine crescente di difficoltà.
Livello di difficoltà medio-basso
1.
Una barca sta attraversando perpendicolarmente alle sponde un fiume, la cui corrente ha velocità di 5 m/s.
Se la barca ha una velocità di 15 m/s calcolare il modulo del vettore velocità risultante, la sua direzione ed il suo verso rispetto alle rive.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sulla regola del parallelogramma.
2.
Un aereo percorre 100 km in direzione nord, per poi virare e percorrere 150 km in direzione nord 30° est ed infine percorre 300 km in direzione est.
Calcolare lo spostamento risultante in modulo, direzione e verso.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: vettore spostamento risultante.
3.
Una barca la cui velocità è di 10 km/h attraversa un fiume la cui corrente scorre a 5 km/h.
Il barcaiolo vuole procedere perpendicolarmente alle rive del fiume e quindi anche alla velocità dell'acqua.
Secondo quale angolo deve inclinare la propria imbarcazione, rispetto alla direzione perpendicolare alle rive, per ottenere questo risultato
Calcolare la velocità rispetto al suolo.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: applicazione della relatività galileiana.
4.
Un passeggero a bordo di un treno fermo vede scendere la pioggia verticalmente, ovvero perpendicolare al suolo, con una certa velocità Vp.
Non appena il treno si mette in movimento alla velocità di 90∙√3 km/h, lo stesso osservatore vede adesso la pioggia cadere inclinata di 60° rispetto alla verticale.
Determinare la velocità delle gocce rispetto al suolo ed al treno.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sul principio di relatività galileiana.
5.
Una barca attraversa un fiume ad una velocità di 1 m/s rispetto alla corrente che invece scorre perpendicolarmente.
La barca impiega 3 minuti per raggiungere l'altra sponda, ma a causa della presenza dell'acqua in movimento, la posizione finale in cui si ritrova risulta traslata lateralmente di 90 m rispetto alla posizione di partenza.
Calcolare la larghezza del fiume, la velocità dell'acqua e la velocità tenuta dalla barca rispetto alle sponde.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: applicazione delle trasformazioni galileiane.
6.
Siano 
e 
due vettori del piano di componenti rispettivamente:
= = (3;9)
= (4;5)
Determinare l'angolo compreso tra di essi, il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale dei due vettori.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: prodotto scalare e prodotto vettoriale.
7.
Dati i vettori e in un piano di componenti:
= (866, 500)
= (500, 866)
Calcola l'ampiezza dell'angolo formato tra i due vettori.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: calcolo dell'ampiezza dell'angolo formato da due vettori.
Livello di difficoltà medio-alto
8.
Per aggirare un massiccio montuoso, un aereo è costretto a compiere i seguenti spostamenti: dapprima l'aereo si dirige per 125 km a est, dopo vira a Nord-Est per 150 km ed infine vira a Nord 60° Ovest per 200 km fino ad arrivare alla meta finale.
Calcolare modulo, direzione e verso del vettore risultante.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: modulo, direzione e verso del vettore risultante.
9.
Un parallelepipedo ha dimensioni di base pari a 6m ed 8m, mentre la sua altezza è 24m.
Indicare quale è il percorso più breve partendo da uno spigolo della base inferiore per arrivare allo spigolo opposto posto nella base superiore ed individuare le componenti di tale spostamento.
Se il percorso da effettuare dovesse essere vincolato a toccare la superficie del parallelepipedo, in questo caso lo spostamento risultante risulterebbe più corto, uguale o più lungo rispetto al precedentemente?
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio su un parallelepipedo.
10.
Dati i vettori e di componenti rispettivamente:
= (1; -½ ; 1)
= (0; 0; 1)
si calcolino le componenti del vettore 
tale per cui risulti:
x = 0
x = 0
x = 1
Si calcoli inoltre il modulo del vettore .
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sul prodotto scalare.
11.
I tre vertici di un triangolo ABC hanno coordinate A (-2;-3), B (-1;2) e C (4;1).
Dimostrare, attraverso l'utilizzo dei vettori del piano, che il triangolo in questione è isoscele.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: date le coordinate dei tre vertici, dimostrare che un triangolo è isoscele.
Livello di difficoltà: alto
12.
Siano e due vettori piani, dimostrare che:
a) | - | ≥ || - ||
b) | + | ≤ || + ||
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio su vettori piani.
13.
Siano dati i seguenti vettori e e in uno spazio tridimensionale.
Le componenti di tali vettori sono:
= (6; -4; +2)
= (2; -6; +10)
= (4; +2; -8)
Verificare se i tre vettori formano un triangolo rettangolo.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: dimostrare che tre vettori formano un triangolo rettangolo.
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