Esercizio su un parallelepipedo
Esercizio svolto su un parallelepipedo
Un parallelepipedo ha dimensioni di base pari a 6 m ed 8 m, mentre la sua altezza è 24 m.
Indicare quale è il percorso più breve partendo da uno spigolo della base inferiore per arrivare allo spigolo opposto posto nella base superiore ed individuare le componenti di tale spostamento.
Se il percorso da effettuare dovesse essere vincolato a toccare la superficie del parallelepipedo, in questo caso lo spostamento risultante risulterebbe più corto, uguale o più lungo rispetto al precedentemente?
Svolgimento
Il caso proposto dal problema fa riferimento ad un parallelepipedo di cui sono note le dimensioni.
Si tratta di un solido quindi per la trattazione del problema scegliamo un opportuno sistema di riferimento a tre dimensioni x, y e z.
La strada più breve che unisce i due spigoli posti diametralmente opposti è la diagonale del parallelepipedo:
Le componenti del vettore spostamento risultante 
sono le tre dimensioni del parallelepipedo:
ax = 6 m
ay = 8m
az = 24 m
Così come nel piano bidimensionale, la risultante di in questo caso è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati di tutte le componenti del vettore:
Per trovare l'orientazione, ovvero l'angolo che il vettore forma col piano xy, possiamo considerare la diagonale appena ricavata e la sua proiezione lungo xy.
Tale proiezione non è altro che la diagonale di base del parallelepipedo e vale:
Da considerazioni trigonometriche, detto α l'angolo tra il vettore e il piano:
|a|·cos α = axy
per cui
α = arccos(axy /|a|) = arccos (10/26) = arccos(0,3846) = 67,4°
Se il percorso da effettuare dovesse essere vincolato a toccare la superficie del parallelepipedo invece il percorso più breve diventa percorrere la diagonale di base , arrivare all'angolo di base opposto e poi risalire lungo spigolo.
Il percorso in questo caso diventa:
Per cui il percorso originario risultava di 26 m ed inclinato di 67,4° rispetto al piano di appoggio.
Nel secondo caso il percorso è più lungo e risulta pari a 34 m.
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