Dimostrare che tre vettori formano un triangolo rettangolo
Esercizio che chiede di dimostrare che tre vettori formano un triangolo rettangolo
Siano dati i seguenti vettori 
e 
e 
in uno spazio tridimensionale.
Le componenti di tali vettori sono:
= (6; -4; +2)
= (2; -6; +10)
= (4; +2; -8)
Verificare se i tre vettori formano un triangolo rettangolo.
Svolgimento
Sono dati tre vettori in uno spazio 3d, attraverso le loro componenti x, y e z.
Ora il problema chiede di verificare se i tre vettori formano un triangolo rettangolo, una volta uniti.
Anzitutto verifichiamo che i tre vettori formino un triangolo chiuso.
Affinché ciò accada deve essere che un vettore deve essere la somma degli altri due.
Ricordiamo infatti che per la somma di due vettori si può procedere con il metodo grafico del parallelogramma, che consiste nel rappresentare i vettori a due a due con la stessa origine ed individuare la loro risultante somma come la diagonale del parallelogramma avente per lati i due vettori.
I tre vettori dunque, i due di partenza sommati e la loro risultante, formeranno un triangolo.
Calcoliamo pertanto:
| + | = (6+2; -4-6; 2+10) = (+8; -10; +12)
| + | = (2+4; -6+2; 10-8) = (+6; -4; +2)
| + | = (6+4; -4+2; +2-8) = (+10; -2; -6)
Ricaviamo immediatamente che
| + | = = = (6; -4; +2)
Per cui i tre vettori formano un triangolo.
Verifichiamo adesso che tale triangolo sia di tipo rettangolo, ovvero che l'angolo formato tra due dei tre vettori sia 90°.
Ricordando che dati due vettori e e detto θ l'angolo tra di essi, il prodotto scalare tra essi risulta pari a:
x = |a| · |b| · cosθ
Non ci resta quindi che calcolare i tre prodotti scalari a partire dalle componenti e se uno di essi sarà pari a zero, allora vuol dire che il coseno tra i due vettori è zero.
Il coseno si annulla in corrispondenza proprio di θ=90°.
x = (ax· bx + ay· by + az· bz) = (6 ·2 + (-4) ·(-6) + 2·10) = 56 ≠ 0
x = (bx · cx + by · cy + bz · cz) = (2 · 4 + (-6) · 2 + 10 ·(-8) ) = -84 ≠ 0
x = (ax · cx + ay · cy + az · cz) = (6 · 4 + (-4) · 2 + 2 · (-8) ) = 0
Poiché x = 0 allora i vettori e sono tra di loro perpendicolari, quindi il triangolo è di tipo rettangolo.
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