Esercizio su effetto Doppler relativistico
Esercizio svolto e commentato su effetto Doppler relativistico
A che velocità dovrebbe muoversi un corpo verso una sorgente di luce monocromatica rossa (λ = 650 nm) affinché essa sia percepita come verde (λ = 525 nm)?
Svolgimento dell'esercizio
Il corpo che si sta muovendo a velocità v verso la sorgente che ha emesso il segnale luminoso percepisce una frequenza f' pari a:
con β = v / c e in cui v è la velocità incognita da ricavare e c è la velocità della luce nel vuoto c = 3 ∙ 108 m/s.
Ricordando che tra lunghezza d'onda λ e frequenza f esiste il rapporto
c = λ ∙ f
allora:
f = c / λ
Quindi la formula dell'effetto Doppler relativistico scritto in funzione delle lunghezze d'onda sarà pari a:
con
λ' = 525 ∙ 10-9 m
e
λ = 650 ∙ 10-9 m
Eleviamo al quadrato ambo i membri:
λ2 / λ'2 = (1 + β) / (1 - β)
Da cui:
λ2 ∙ (1 - β) = λ'2 ∙ (1 + β)
λ2 - λ2 ∙ β = λ'2 + λ'2 ∙ β
λ'2 ∙ β + λ2 ∙ β = λ2 - λ'2
(λ'2 + λ2)∙ β = λ2 - λ'2
Da cui ricaviamo β:
Essendo:
β = v / c = 0,21
Si ottiene:
v = 0,21∙ c = 0,63 ∙ 108 m/s
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