Carica di condensatori in un circuito

Esercizio sul calcolo della carica di condensatori in un circuito elettrico

Sia dato il circuito in figura:

Le capacità dei condensatori sono rispettivamente di C₁ = 20 pF, C₂ = 40 pF, C₃ = 30 pF e C₄ = 60 pF.

Si sa che la carica sul condensatore 1 vale 200 pC.

Calcolare la differenza di potenziale ∆V del sistema e la carica presente su ogni condensatore presente nel circuito.

Svolgimento

Nel circuito elettrico riportato in figura sono presenti 4 condensatori di capacità nota.

I condensatori 1 e 3 sono collegati tra di loro in parallelo, così come i condensatori 2 e 4. I due paralleli sono a loro volta collegati tra di loro in serie.

Iniziamo col riportare i dati forniti e riportiamoli in unità di misura del Sistema Internazionale:

C₁ = 20 pF = 20 ∙ 10^-12 F

C₂ = 40 pF = 40 ∙ 10^-12 F

C₃ = 30 pF = 30 ∙ 10^-12 F

C₄ = 60 pF = 60 ∙ 10^-12 F

Q₁ = 200 pC

Sappiamo che la capacità C di un condensatore è pari a:

C = Q / V

da cui:

V = Q / C

Calcoliamo dunque la tensione ai capi delle armature del condensatore 1:

V₁ = Q₁/C₁ = 200/20 = 10 V

La tensione sul condensatore 3 sarà la medesima di quella presente sul condensatore 1, in quanto collegati in parallelo:

V₃ = V₁ = 10 V

La capacità equivalente tra i due condensatori 1 e 3 è pari a:

C₁₃ = C₁ + C₃ = 20 pF + 30 pF = 50 pF

Per cui la carica totale che si distribuisce tra i due condensatori vale:

Q₁₃ = V₁ ∙ C₁₃ = V₃ ∙ C₁₃ = 10 ∙ 50 ∙ 10^-12 = 500 pC

Ora risulta che:

Q₁₃ = Q₁ + Q₃

Per cui la carica sul condensatore 3 vale:

Q₃ = Q₁₃ - Q₁ = 500 – 200 = 300 pC

La capacità equivalente dei due condensatori 2 e 4 vale:

C₂₄ = C₂ + C₄ = 40 pF + 60 pF = 100 pF

Tale capacità equivalente, essendo collegata in serie alla capacità equivalente C₁₃ ricavata di prima, possiederà la stessa carica dell'altro gruppo di condensatori:

Q₁₃ = Q₂₄ = 500 pC

Per cui tutto il circuito può essere schematizzato come un unico condensatore di capacità equivalente pari a:

C_eq = C₁₃ ∙ C₂₄ / (C₁₃ + C₂₄) = 50 ∙ 100 / (50 + 100) = 33,33 pF

La carica presente su tale capacità è quella presente in ogni gruppo di due condensatori:

Q = 500 pC

Dunque la tensione ∆V applicata alla capacità equivalente dell'intero circuito vale:

∆V = Q/C_eq = 500/33,33 = 15 V

Questa differenza di potenziale si ripartisce tra i due gruppi C₁₃ e C₂₄. Conosciamo già la ddp tra i condensatori 1 e 2 che vale:

V₁₃ = 10 V

e come abbiamo appena detto:

∆V = V₁₃ + V₂₄

Dunque risulta che:

V₂₄ = ∆V – V₁₃ = 15 – 10 = 5 V

Dunque la ddp sui condensatori 2 e 4 vale 8 V. Allora le rispettive cariche valgono:

Q₂ = V₂ ∙ C₂ = 5 ∙ 40 ∙ 10^-12 F = 200 pC

Q₄ = V₄ ∙ C₄ = 5 ∙ 60 ∙ 10^-12 F = 300 pC

Ricapitolando dunque la differenza di potenziale ∆V sull'intero circuito vale 15 V mentre le cariche su ogni condensatore valgono rispettivamente 200 pC, 200 pC, 300 pC e 300 pC.

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