Quadrato del modulo di una funzione d'onda
Quadrato del modulo di una funzione d'onda e probabilità di trovare la particella al di fuori di un certo intervallo
Considera la seguente funzione d'onda per una particella in una dimensione:
Calcolarne il modulo quadro, rappresentarlo graficamente ed interpretare dal grafico la probabilità di trovare la particella al di fuori dell'intervallo (<x>-σ; <x>+σ) in cui <x> rappresenta il valore atteso e σ la deviazione standard.
Svolgimento dell'esercizio
Iniziamo col calcolare il modulo quadro della funzione d'onda |Ψ|2 la cui area sottesa rappresenta la probabilità di trovare la particella in un certo range. Ricordiamo che il modulo quadro di un numero complesso è il prodotto del numero stesso per il suo complesso coniugato.
Se si ha un numero complesso z = a +bi dove a e b sono rispettivamente la parte reale e quella immaginaria, allora il suo complesso coniugato sarà z* =a – bi ed il modulo quadro di z sarà dato a |z|2 = z ∙z*.
Questa è la distribuzione di probabilità relativa alla posizione della particella ad un certo istante di tempo t.
Il valore atteso di una distribuzione di probabilità è l'integrale tra -∞ e +∞ del prodotto di x per la distribuzione di probabilità.
Essendo la funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari, il suo integrale indefinito totale calcolato tra -∞ e +∞ è pari a 0.
<x> = 0: il valore atteso di questa distribuzione di probabilità è zero.
Calcoliamo adesso la deviazione standard tramite la formula:
Integrando per parti il precedente integrale otteniamo:
Per cui la deviazione standard risulta:
Disegniamo il grafico della distribuzione di probabilità.
La funzione è pari, ha un massimo assoluto per x = 0 pari a λ, tale punto rappresenta un punto angoloso, inoltre la funzione tende a 0 quando x tende a +∞ e -∞; la funzione infine risulta sempre positiva in tutto il suo dominio R e non si annulla mai. Eccone il grafico:
La probabilità di trovare la particella al di fuori dell'intervallo (<x>-σ; <x>+σ) è l'area sottesa dalla curva nelle due code esterne evidenziata in verde nella figura successiva:
Possiamo quantificare questa area che rappresenta la probabilità tramite il calcolo integrale:
Ed interpretare il risultato in questo modo: è molto probabile che la particella in questione si trovi attorno al suo valore medio; tuttavia, esiste una probabilità considerevole che essa si trovi al di fuori di tale intervallo e questa probabilità vale il 24,3%.
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