Campo magnetico applicato a un tubo a raggi catodici
Calcolo del campo magnetico che deve essere applicato a un tubo a raggi catodici per equilibrare la forza elettrica
Si consideri un tubo a raggi catodici in cui degli elettroni vengono accelerati da una ddp pari a 104 V e immessi in una regione in cui agisce un campo elettrico di intensità pari a 2∙104 N/C.
Il campo elettrico è perpendicolare alla velocità di entrata e tende a far deflettere quindi gli elettroni.
Determinare modulo direzione e verso del campo magnetico che si deve utilizzare affinché venga annullata la deflessione degli elettroni (si sappia che la massa elettrone è pari a 9,11 · 10-31 kg).
Svolgimento dell'esercizio
Lo schema di un tubo a raggi catodici è quello riportato sotto:
Le cariche vengono accelerate da una ddp nel catodo del tubo a raggi catodici e passando attraverso le armature di un condensatore in cui è presente un campo elettrico uniforme perpendicolare alla loro velocità vengono deflesse dalla loro traiettoria rettilinea.
Gli elettroni dunque subiscono una forza elettrica che ha la stessa direzione del campo elettrico.
Per annullare questa deflessione è necessario che su di esse intervenga una forza magnetica che abbia la stessa direzione e lo stesso modulo della forza elettrica ma verso opposto.
È necessario quindi che sia presente un campo magnetico B perpendicolare a E in quanto sappiamo che l'espressione della Forza di Lorentz agente su di una carica in moto è pari a (in grassetto le grandezze vettoriali e con ⋀ si indica il simbolo del prodotto vettoriale):
F = q ∙ v ⋀ B
Pertanto se B è perpendicolare a E che a sua volta era già perpendicolare a v, otteniamo una forza che ha la stessa direzione della forza elettrica.
La velocità v acquisita dagli elettroni a causa della presenza della ddp è calcolabile a partire dall'energia cinetica posseduta dagli elettroni in movimento che è uguale al lavoro compiuto per spostarli lungo i punti a differente potenziale:
Ek = L = q ∙ ΔV
Ricordando l'espressione dell'energia cinetica:
Ek = ½ ∙ m ∙ v2
otteniamo:
q ∙ ΔV = ½ ∙ m ∙ v2
Da cui:
L'espressione della forza elettrica è pari a:
Fe = q ∙ E
mentre l'espressione della forza magnetica (ricordiamo che B è perpendicolare a v):
Fm = q ∙ v ∙ B
Uguagliando i moduli delle due forze otteniamo:
q ∙ E = q ∙ v ∙ B
cioè:
Pertanto il campo magnetico che deve essere applicato è pari a 3,37 ∙ 10-4 T.
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