Frange scure e frange luminose

Calcolo della posizione delle frange scure e delle frange luminose

In un dispositivo di Young le due fenditure sono poste a una distanza pari a 0,2 mm tra di loro e vengono fatte incidere contro di esse due radiazioni monocromatiche alle lunghezze d'onda di λ₁ =0,45 μm e λ₂ = 0,6 μm.

Sapendo che lo schermo è posto a una distanza di 2,5 m dalle fenditure, determinare la minima distanza sullo schermo per cui una frangia luminosa di ordine n-esimo di una delle due radiazioni coincida con la frangia scura dello stesso ordine dell'altra.

Svolgimento dell'esercizio

Il problema richiede il calcolo della posizione dei minimi (frange scure) e dei massimi (frange luminose) di una figura di interferenza tra due onde prodotta attraverso un dispositivo di Young che ha le seguenti caratteristiche:

d = 0,2 mm = 0,2 ∙ 10^-3 m

L = 2,5 m

Le radiazioni incidenti sono due, sono monocromatiche e sono caratterizzate dalle lunghezze d'onda:

λ₁ = 0,45 μm = 0,45 ∙ 10^-6 m

λ₂ = 0,6 μm = 0,6 ∙ 10^-6 m

Determiniamo la minima distanza sullo schermo per cui si osserva che una frangia luminosa di una delle due radiazioni coincide con una frangia scura dell'altra.

Ricordiamo le condizioni di interferenza costruttiva e distruttiva tra le onde:

Condizione per le frange luminose:

d ∙ senθ = (2 ∙ n) ∙ (λ / 2)

con

n = 0, 1, 2…

Condizione per le frange scure:

d ∙ senθ = (2 ∙ n + 1) ∙ (λ / 2)

con

n = 0, 1, 2…

Ora poiché la frangia chiara di una corrisponde alla stessa posizione della frangia scura dell'altra, la differenza di cammino d∙senθ tra le due onde che si generano per ciascuna radiazione attraverso le fenditure deve essere uguale.

Imponiamo allora che (ricordando che l'ordine delle frange è lo stesso, per cui n sarà lo stesso in ambo i membri):

(2 ∙ n) ∙ (λ₁ / 2) = (2 ∙ n + 1) ∙ (λ₂ / 2)

n ∙ λ₁ = n ∙ λ₂ + λ₂ / 2

n ∙ (λ₁ - λ₂) = λ₂ / 2

Da cui:

n = λ₂ / [2 ∙ (λ₁ - λ₂)]

n = 0,6 ∙ 10^-6 / [2 ∙ (0,45 - 0,6) ∙ 10^-6] = - 2

Ovviamente consideriamo l'ordine in valore assoluto essendo la figura perfettamente simmetrica.

n = 2

Per n = 2 avremo, ad esempio considerando la prima radiazione,

d ∙ senθ = (2 ∙ n) ∙ (λ₁ / 2)

senθ = (n ∙ λ₁) /d = 2 ∙ 0,45 ∙ 10^-6 / (0,2 ∙ 10^-3) = 4,5 ∙ 10^-3