Teorema di Tellegen

Che cosa afferma il teorema di Tellegen?

La teoria dei grafi è un'importante modellizzazione dei problemi relativa alla risoluzione dei circuiti elettrici e la conoscenza delle proprietà topologiche delle reti è propedeutica al teorema di Tellegen.

Un grafo è una struttura relazionale fra diversi elementi, tra i quali è definita una relazione, detti nodi o vertici e le relazioni tra ogni coppia di nodi si dicono archi o lati.

Si definisce maglia un qualsiasi anello del grafo che non contiene alcun lato del grafo al suo interno.

Maglia elettrica

Teorema di Tellegen

Il teorema di Tellegen (dal nome del suo autore, l'ingegnere olandese Bernard Tellegen) afferma che la somma di tutte le potenze assorbite da ciascun lato di un grafo che rappresenta una rete elettrica è pari a zero.

Spiegazione del teorema di Tellegen

È possibile associare ad un circuito elettrico il suo relativo grafo che conterrà tensioni e correnti della rete elettrica considerata. In particolare l'insieme delle correnti è costituito da tutte le correnti che scorrono nei lati del grafo (entranti ed uscenti da ogni nodo) mentre l'insieme delle tensioni è costituito da tutte le tensioni tra i nodi estremi di ogni lato del grafo.

Consideriamo adesso un grafo molto semplice costituito da 3 nodi e 5 lati:

Grafo

I nodi in totale sono 3 ma quelli indipendenti sono soltanto due perché la corrente entrante/uscente dal terzo nodo può essere espressa come combinazione lineare delle altre due correnti.

Chiamiamo P il numero dei nodi indipendenti ed L il numero dei lati:

P = 2
L = 5

Per risolvere la rete di cui abbiamo disegnato il grafo occorrono L equazioni, tante quante sono il numero dei lati del grafo in questo caso 5. Di queste 5 equazioni 2 dovranno essere costruite sui nodi e le restanti L – P = 3 equazioni dovranno essere riferite alle maglie.

Orientiamo adesso il grafo. Orientare un grafo vuol dire attribuire un verso ad ogni ramo tale che sia possibile individuare per ogni ramo il nodo di origine e quello di destinazione.

La scelta del verso è arbitraria e corrisponderà sia al verso della tensione del lato sia al verso della corrente che scorre in quel lato.

Grafo orientato

Per ogni lato del grafo possiamo definire la tensione e la corrente di lato V_L ed I_L. Il prodotto di tensione di lato per corrente di lato corrisponde dimensionalmente alla potenza di lato.

Sommando tutti i prodotti tra le tensioni e le correnti di lato si ottiene la sommatoria della potenza assorbita da ciascun ramo del circuito.

Il teorema di Tellegen afferma che la somma di tutte le potenze assorbite da ogni ramo del circuito è nulla:

Teorema di Tellegen

Questo vuol dire che la potenza complessivamente assorbita dalla rete elettrica è nulla in conseguenza del fatto che in un sistema isolato è valido il principio di conservazione dell'energia cioè alcuni lati forniranno la potenza che invece verrà assorbita da altri.

Il teorema di Tellegen discende direttamente dai due principi di Kirchhoff indipendentemente da come sia realizzata la rete elettrica che si considera. Cioè se per essa valgono i due principi di Kirchhoff (legge dei nodi e legge delle maglie) allora varrà sicuramente anche il teorema di Tellegen.

Nella nostra rete di esempio scriveremo esplicitando tensioni e correnti di lato che:

V_L1 ∙ I_L1 + V_L2 ∙ I_L2 + V_L3 ∙ I_L3 + V_L4 ∙ I_L4 + V_L5 ∙ I_L5 = 0

Potenza virtuale

Il teorema di Tellegen è applicabile al grafo di un circuito che può essere più o meno complesso.

Ora può capitare che circuiti diversi possano avere però lo stesso identico grafo e in questo caso se consideriamo lo stesso ramo del grafo ma moltiplichiamo la corrente che scorre in un circuito per la tensione di lato dell'altro circuito dimensionalmente otteniamo sempre una potenza ma non è in realtà una potenza effettiva e quindi prende anche il nome di potenza virtuale. Otterremo invece una potenza effettiva se V ed I si riferiscono al ramo di uno stesso circuito.

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