Velocità limite di una sfera che cade in un fluido
Calcolo della velocità limite di una sfera che cade in un fluido
Determinare la velocità limite di una sfera di raggio R e densità ρ che cade in un fluido caratterizzato da un coefficiente di viscosità η e densità ρ0.
Velocità limite
La sfera è in caduta libera nel fluido, all'equilibrio essa raggiungerà la velocità limite di caduta.
Analizziamo le forze in gioco.
Sulla sfera agiscono la forza di attrito viscoso F, la spinta di Archimede S e la forza peso P.
Poiché siamo nel caso di equilibrio dinamico, la somma vettoriale delle tre forze deve essere nulla:
F + P + S = 0
Le tre forze agiscono tutte lungo l'asse verticale, in particolare attrito e spinta di Archimede sono diretti verso l'alto mentre la forza peso verso il basso.
Detto V il volume della sfera ed m la sua massa allora possiamo scrivere la seguente equazione che ci permette di calcolare la velocità di regime v:
6∙π∙μ∙R∙v -m∙g + ρ0∙V∙g = 0
6∙π∙μ∙R∙v = m∙g - ρ0∙V∙g
v = (m∙g - ρ0∙V∙g) / (6∙π∙μ∙R) = g ∙ (m - ρ0∙V) / (6∙π∙μ∙R)
Ricordando che la densità ρ della sfera è pari al rapporto della sua massa per il suo volume, ovvero:
ρ = m/V
si ha che:
Il volume di una sfera è pari a:
V = (4/3) ∙ π ∙ R3
Per cui:
Quest'ultima relazione rappresenta quindi la formula per il calcolo della velocità limite di una sfera di raggio R e densità ρ che cade in un fluido caratterizzato da un coefficiente di viscosità η e densità ρ0.
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