Velocità istantanea in funzione del tempo
Esercizio sulla velocità istantanea in funzione del tempo
La legge che fornisce la posizione di un corpo che sta rotolando verso il basso lungo le pendici di una montagna è data da
S = 16 ∙ t2
in cui S è misurato in metri e t in secondi.
Trovare l'espressione della velocità istantanea in funzione del tempo t.
La rappresentazione della legge oraria è:
Si tratta di una parabola con vertice nell'origine relativa ad un moto rettilineo uniformemente accelerato.
Ovviamente consideriamo solo il ramo destro (non avrebbe senso considerare le ascisse negative, ovvero il tempo negativo).
Preso un generico istante t, possiamo affermare che la velocità istantanea al tempo t è la pendenza della tangente al grafico in corrispondenza del punto con ascissa t.
Allo scorrere del tempo, la pendenza della curva aumenta, ciò vuol dire che il corpo sta accelerando, cioè sta aumentando la sua velocità nel tempo.
Preso un generico istante di tempo t1, la posizione vale:
S1 = 16 ∙ t12
Dopo un intervallo di tempo Δt, ci portiamo all'istante t2 = t1 + Δt, per cui la posizione S2 sarà data da:
S2 = 16 ∙ t22 = 16 ∙ (t1 + Δt)2 = 16 ∙ t12 + 32 ∙ t1 ∙ Δt + 16 ∙ Δt2
La variazione di spazio vale:
ΔS = S2 - S1 = 16 ∙ t12 + 32 ∙ t1 ∙ Δt + 16 ∙ Δt2 - 16 ∙ t12 = 32 ∙ t1 ∙ Δt + 16∙ Δt2
La velocità media relativa a questo spostamento vale:
Se facciamo tendere a 0 l'intervallo di tempo Δt otteniamo l'espressione della velocità istantanea:
Δt → 0
Si ha che:
Vistantanea = 32 ∙ t
in quanto consideriamo l'istante di tempo t1 come generico istante t.
Per cui l'espressione che restituisce la velocità istantanea in funzione del tempo t è: V = 32 ∙ t.
Studia con noi