fem indotta per flusso tagliato

Calcolo della fem indotta per flusso tagliato

Una spira triangolare conduttrice reale di resistenza R, chiusa, omogenea, di lati

AC = b = 40,0 cm ; AD = h = 30,0 cm ; ipotenusa CD = d

giace in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy e trasla con velocità v_i costante lungo l'asse x, come in figura:

Esercizio sul flusso tagliato

Nel punto x = 0 la spira entra in un campo magnetico B, costante e uniforme, entrante nel piano.

Si chiede di determinare la fem ℇ indotta per flusso tagliato in funzione di B, v e t (con B intensità del campo magnetico e v modulo della velocità della spira) ed in funzione di B, v e x_c (con B intensità del campo magnetico, v modulo della velocità della spira e x_c coordinata x del vertice C della spira triangolare) nei tre casi seguenti:

la spira non è entrata nella zona del campo B (cioè x_C < 0)
la spira è a cavallo dell'asse y (x_A < 0 < x_C)
la spira ha superato l'asse y (x_A > 0)

Svolgimento dell'esercizio

La variazione di flusso tagliato del campo magnetico si verifica tutte le volte che un circuito, o una sua parte, si muove entro un campo magnetico costante ed uniforme oppure un campo magnetico si muove rispetto al circuito.

In accordo con la legge di Faraday-Neumann-Lenz sulla spira triangolare del problema si manifesterà una forza elettromotrice indotta ε proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso di campo magnetico attraverso la superficie delimitata dal circuito.

La corrente indotta è presente fino a quando vi è una variazione di tale flusso nel tempo ed è tanto maggiore quanto più rapida è la variazione.

Il verso della corrente indotta si determina con la legge di Lenz: il verso di tale corrente è tale da produrre a sua volta un altro campo magnetico che tende ad opporsi alla variazione di flusso del campo magnetico esterno che l'ha generata. In formule:

La fem indotta è cioè pari alla derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico calcolato attraverso la superficie del circuito e cambiata di segno.

Nel caso in cui la coordinata x assunta dal punto C della spira sia negativa, x_c < 0, cioè quando la spira non è ancora entrata nella zona del campo non si rileverà alcuna variazione di flusso di campo magnetico per cui la fem indotta sarà nulla.

Quando la spira si trova a cavallo dell'asse y cioè per x_A < 0 < x_C si avrà una variazione di flusso di campo magnetico e quindi si manifesterà una fem indotta. Tale fem indotta è pari a:

Essendo il campo entrante nel piano risulta perpendicolare alla superficie cioè parallelo al vettore normale. Per cui cosα = 1.

Inoltre il valore dell'intensità del campo magnetico è costante e quindi può essere portato fuori dall'operazione di derivata. Allora avremo che:

Per calcolare la superficie che risulta investita dalle linee di campo man mano che la spira avanza verso destra calcoliamo la tangente goniometrica dell'angolo γ in C del triangolo rettangolo. Sappiamo dalla trigonometria che:

Il cateto verticale in funzione del valore che assume la coordinata x_C varrà:

h(xc) = x_c ∙ tg γ = ¾ ∙ x_C

Allora la superficie S della porzione di triangolo rettangolo immersa nel campo magnetico in funzione della coordinata x_C è:

Dunque la fem indotta varrà:

Ora x_c varia nel tempo in relazione alla velocità v con cui la spira si sta muovendo secondo la legge:

x_c = v ∙ t

per cui:

Questo andamento dura da t = 0 fino al momento in cui tutto il triangolo è entrato nel campo magnetico cioè fino a quando x_c assume il valore di 40 cm (lunghezza del lato AC).

Una volta che la spira ha completamente superato l'asse y e si trova tutta immersa nel campo non vi sarà più variazione di flusso del campo magnetico e quindi la fem indotta sarà zero.

Ricapitolando quindi la fem indotta ε per flusso tagliato vale: