Esercizio sulla bilancia di Coulomb

Esercizio svolto e commentato sulla bilancia di Coulomb

Una bilancia a torsione è costituita da un manubrio lungo 28 cm.

La sfera posta su una estremità del manubrio ha intensità pari a 3,8∙10^-8 C, mentre la carica fissa è pari alla metà di quest'ultima.

Una volta raggiunta la posizione di equilibrio la distanza tra le sfere cariche è pari a 6,4 cm ed il filo della bilancia è ruotato di 6°.

Determinare il coefficiente K della bilancia a torsione.

Svolgimento dell'esercizio

Il problema presenta l'apparato sperimentale utilizzato da Coulomb per la misurazione della forza di interazione elettrica tra le cariche.

In particolare siamo già nella situazione di equilibrio in cui vi è interazione di repulsione tra le cariche ed il manubrio della bilancia risulta ruotato di un certi angolo.

I dati forniti sono dunque:

Q_A = 1,9∙10^-8 C

Q_B = 3,8∙10^-8 C

L = 28 cm = 0,28 m

d = 0,064 m

α = 6°

In particolare detta b la distanza o braccio tra la sfera carica posta sul manubrio e il punto in cui è appeso il filo alla sbarra sappiamo che all'equilibrio il momento meccanico dovuto alla forza elettrica deve essere uguale al momento elastico dovuto alla torsione del filo da cui:

M_fe = M_el

Possiamo esprimere il momento dovuto alla forza elettrica come prodotto tra forza elettrica F e braccio b mentre il momento elastico come prodotto di un coefficiente K, detto coefficiente di torsione della bilancia, che dipende dalla natura del filo per l'angolo α da esso percorso espresso in radianti:

F ∙ b = K ∙ α_r

Da qui si può ricavare il valore del coefficiente K della bilancia a torsione:

K = F ∙ b / α_r

Ora sappiamo che la forza di interazione tra le cariche poste a distanza d è pari a:

F = K₀ ∙ Q_A ∙ Q_B / d²

Il braccio b è la metà della lunghezza del manubrio:

b = L / 2

L'angolo α_r in radianti vale:

α_r = α_g ∙ π / 180

Allora unificando tutte le espressioni precedenti si ottiene che K vale: