Piano inclinato messo in movimento con accelerazione orizzontale costante
Esercizio riguardante un piano inclinato messo in movimento con accelerazione orizzontale costante
Una massa è ferma alla base di un piano liscio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale ed alto h = 1,2 m.
Il piano inclinato è messo in movimento con accelerazione orizzontale costante a per un tempo t1 = 3s, dopodiché continua a muoversi con velocità costante.
Il piano orizzontale sul quale si muove il piano è liscio.
Si determini:
1) l'accelerazione minima che permette alla massa di percorrere l'intero piano in salita e giungere in sommità;
2) il tempo impiegato dalla massa per raggiungere tale altezza.
Svolgimento dell'esercizio
Siamo in presenza di un piano inclinato liscio con angolo di 30° rispetto all'orizzontale, libero di muoversi su di un piano orizzontale privo di attrito.
Alla base del piano inclinato vi è un corpo che deve risalire fino alla sommità del piano spinto dalla forza di trascinamento del piano stesso che viene fatto muovere di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante a, incognita del problema, per i primi 3 secondi e dopo mantenuto in moto con velocità costante.
Rispetto al sistema di riferimento non inerziale solidale con il piano inclinato, durante la fase di moto uniformemente accelerato del piano inclinato, sulla massa agiscono:
- la forza peso
diretta verticalmente verso il basso; - la forza di reazione normale
perpendicolare al piano; - la forza di trascinamento
diretta orizzontalmente.
Scelto l'asse x parallelo al piano inclinato e diretto in salita, l'equazione scalare delle forze lungo tale asse è:
- Fx - Px = m·arel
in cui
Fx e Px sono rispettivamente le componenti orizzontali della forza peso e della forza m·a;
arel è l'accelerazione della massa relativa al piano inclinato, valida finché il moto del piano inclinato si mantiene uniformemente accelerato, cioè per i primi 3 secondi.
Per cui sviluppando l'equazione scalare otteniamo:
- (- m·a·cos30) - m·g·sen30 = m·arel
Il doppio segno meno sulla componente Fx è giustificata dal fatto che tale componente punta verso la parte negativa dell'asse, cioè verso il basso come la componente orizzontale della forza peso, ma nel sistema di riferimento preso esso ha verso opposto.
m · a · cos30 - m · g · sen30 = m · arel
da cui, semplificando la massa m otteniamo:
arel = a·cos30 - g·sen30
Ora ricordando che
e
possiamo riscrivere la precedente come:
Al termine di questa fase, ovvero all'istante t1 = 3 s il corpo avrà percorso uno spazio pari a:
mentre la velocità raggiunta dopo i 3 secondi sarà pari a:
Dopo aver analizzato la prima parte della salita della massa, quella relativa cioè ai primi 3 secondi il cui il piano inclinato si muove con accelerazione costante, vediamo cosa succede negli istanti successivi ovvero quando il piano inclinato si muove di moto rettilineo uniforme.
Possiamo anzitutto dire che il tempo totale T necessario alla massa per arrivare fino in cima sarà dato dalla somma di:
T = t1 + t2
in cui
t1 = 3 s
t2 è il tempo rimanente che occorre alla massa per arrivare in cima durante la fase di moto rettilineo uniforme del piano inclinato.
Adesso che non c'è più l'accelerazione a che agiva prima, sulla massa agiscono le forze:
- la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
- la forza di reazione normale perpendicolare al piano;
In particolare lungo l'asse x avremo:
- Px = m·a
in cui la componente x della forza peso ha valore negativo in quanto diretta verso la base del piano mentre l'accelerazione è rivolta verso l'alto in quanto il corpo sta ancora salendo. Quindi:
- m·g·sen30 = m·a
a = - g·sen30
cioè il corpo adesso sale con accelerazione negativa.
La sua legge oraria sarà data da:
d = ½ · a · t2 + V1 · t + d1
in cui V1 e d1 sono rispettivamente la velocità iniziale e lo spazio già percorso dal corpo nei primi 3 secondi.
Sostituiamo ad a il valore appena ricavato:
d = - ½ · g · sen30 · t2 + V1 · t + d1
Lo spazio d totale che la massa deve percorrere è pari alla lunghezza del piano inclinato, conoscendone altezza ed angolo alla base essa risulta:
d = h / sen30 = 1,2 / sen30 = 2,4 m
Dunque quando t= t2 avremo:
2,4 = - ½ · g · sen30 · t22 + V1 · t2 + d1
Per quanto riguarda invece la velocità della massa, la legge che lega la velocità al tempo è:
V = a·t + V1= - g·sen30·t + V1
Imponiamo adesso che quando il corpo abbia raggiunto la sommità all'istante t2, la sua velocità sia nulla, ovvero tradotto in formule che:
V(t2) = 0
dopo aver percorso l'intero piano inclinato:
d(t2) = 2,4 m.
Dalla prima:
V(t2) = 0
- g·sen30· t2 + V1= 0
t2 = V1 / (g · sen30)
Prima avevamo ricavato che
per cui sostituendo otteniamo:
Sostituiamo t2 nell'equazione ricavata sopra:
in cui:
dunque otteniamo:
Svolgendo tutti i calcoli e riordinando si perviene all'equazione:
che è una equazione di secondo grado a cui sono associate due soluzioni; scartiamo la soluzione negativa e ricaviamo: a = 6,22 m/s2
e dunque t2:
Allora il tempo totale di salita è pari a:
T = t1 + t2 = 3 + 0,3 = 3,3 s
Ricapitolando: l'accelerazione da applicare al piano inclinato nei primi 3 secondi deve essere pari a 6,22 m/s2 e il tempo impiegato dalla massa per raggiungere la sommità del piano è di 3,3 secondi.
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Quali sono le formule del piano inclinato?
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