Treni che si muovono lungo la stessa traiettoria con velocità diverse e direzioni opposte
Esercizio su treni che si muovono lungo la stessa traiettoria con velocità diverse e direzioni opposte
Due treni A e B partono alla medesima ora da due stazioni poste agli estremi di un lungo rettilineo lungo 435 km.
Il primo treno procede a velocità costante a 70 km/h mentre il secondo si muove a 75 km/h (chilometri all'ora).
Dopo quanto tempo si incontreranno i due treni?
E a che distanza rispetto alla stazione di partenza del treno A?
Descrivere da un punto di vista grafico-matematico il significato e la risoluzione del problema.
Svolgimento
Il problema presenta la situazione di due corpi distinti che si muovono lungo la stessa traiettoria, i binari in questo caso, con velocità diverse e direzioni opposte.
Scegliamo un opportuno verso di orientamento della retta lungo la quale si muovono i due treni, in particolare scegliamo come positivo il verso che va da A a B, cioè da sinistra a destra.
Piazziamo il corpo A all'origine (So = 0) dell'asse e il corpo B in corrispondenza del valore S = 435 Km.
Decidiamo di usare come unità di misura i km per lo spazio e i km/h per il tempo, in quanto unità di misura più comode per i numeri in questione.
Dobbiamo procedere con la scrittura delle due leggi orarie relative al moto dei due corpi.
Ricordiamo che per un moto rettilineo uniforme la legge oraria è scritta come
S(t) = V · t + So
in cui:
V è la velocità costante
t è il tempo
So è lo spazio iniziale in cui il corpo si trova all'istante t=0
In particolare per il treno A avremo
SA = 70 · t
Per il treno B possiamo invece fare subito due considerazioni importanti:
- esso si trova ad uno spazio iniziale So = 435 km;
- la sua velocità è opposta a quella di A, ciò vuol dire che si sta muovendo avvicinandosi al primo corpo. Dal punto di vista fisica ciò si traduce in una velocità negativa: in tal modo i valori di spazio decrescono a partire dalla coordinata iniziale di 435 km e man mano si riducono fino ad annullarsi quando il treno B raggiunge appunto l'origine;
Per cui la legge oraria di B varrà:
SB = -75 · t + 435
Ricapitolando le due leggi orarie sono:
SA = 70 · t
e
SB = -75 · t + 435
Poiché il problema chiede quando si incontreranno i due treni, ciò si traduce nel calcolare quando lo coordinata spaziale in cui si trova A coinciderà con quella in cui si trova B ovvero :
SA = SB = S
Risolviamo dunque il sistema di due equazioni in due incognite S e t rispettivamente:
{ S = 70 · t
{ S = -75 · t + 435
Uguagliamo i due membri a destra dell'uguale:
70 · t = -75 · t + 435
70 · t + 75 · t = 435
145 · t = 435
t = 435/145 = 3 h
Quindi i due treni si incontreranno dopo 3 h dalla partenza
Per calcolare invece il punto esatto in cui i due corpi si incontrano, basta semplicemente sostituire il valore appena ricavato di t in una delle due equazioni presenti nel sistema. Otterremo lo stesso risultato di S, per cui scegliamo di inserire il valore di t nella prima equazione, quella più semplice:
S(3) = 70 · 3 = 210 km
Questo valore rappresenta dunque la distanza dalla stazione A alla quale i due treni si incontrano.
Da un punto di vista prettamente geometrico matematico, la risoluzione di un problema del genere non significa altro che rappresentare graficamente le due rette che rappresentano i due moti rettilineo uniformi dei corpi.
Una retta sappiamo che sarà certamente crescente (velocità positiva quindi pendenza positiva), l'altra sarà invece decrescente (velocità negativa quindi pendenza negativa).
Le due rette si intersecano in un sol punto che rappresenta appunto la coordinata temporale e spaziale del momento di incontro tra i due corpi.
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