Corpo che oscilla di moto armonico semplice
Esercizio riguardante un corpo che oscilla di moto armonico semplice
Un corpo oscilla di moto armonico con una frequenza di 500 Hz ed un'ampiezza di 1,2 cm.
Trovare la velocità massima e l'accelerazione massima del corpo.
Calcolare inoltre la velocità e l'accelerazione del corpo quando lo spostamento è di 0,2 cm.
Svolgimento
Il problema presenta una situazione oscillatoria in cui il corpo si muove secondo le leggi che regolano il moto armonico semplice.
Raccogliamo i dati del problema:
f = 500 Hz rappresenta la frequenza del moto
A = 1,2 cm = 0,012 m rappresenta l'ampiezza del moto.
L'equazione oraria di un moto armonico è:
x(t) = A· cos(ω· t)
in cui
A è l'ampiezza del moto e si misura in m
ω è la pulsazione o velocità angolare e si misura in rad/s
Per cui calcoliamo la velocità angolare ω:
ω = 2·π·f = 2 · π · 500 = 1000 · π rad/s
Possiamo dunque scrivere la legge oraria del moto armonico:
x(t) = A· cos(ω· t) = 0,012· cos(1000·π · t)
Dalla legge oraria scaturiscono la legge delle velocità e dell'accelerazione in funzione del tempo:
v(t) = - A · ω · sen(ω · t) = - 0,012 · 1000 · π · sen(1000 · π · t)
e
a(t) = - A· ω2 ·cos(ω · t) = - 0,012· (1000 · π)2 · cos(1000 · π · t) = -12000· π2 · cos(1000 · π · t)
Poiché le funzioni seno e coseno sono limitate tra ±1 allora il valore della velocità massima e dell'accelerazione massima risultano rispettivamente:
Vmax = 0,012·1000·π = 37,68 m/s
amax = 12000· π2 = 118315,2 m/s2 = 1,18 · 105 m/s2
Infine il problema chiede quali siano i valori velocità ed accelerazione corrispondenti ad uno spostamento pari a 0,2 cm ovvero 0,002 m.
È semplice ricavare i valori di velocità ed accelerazione in funzione dello spostamento x.
Infatti ricordando la relazione fondamentale della trigonometria:
sen2α + cos2α = 1
possiamo riscrivere v(t) a partire da x(t):
x(t) = A · cos(ω· t)
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Portiamo A sotto la radice elevandola al quadrato:
per cui per x = 0,002 m:
Per quanto riguarda invece l'accelerazione:
a(t) = - A· ω2 ·cos(ω· t) = - ω2 · [ A · cos(ω · t)] = - ω2·x
per x = 0,002 m:
a(0,002) = - (1000·π)2·0,002 = - 19719,2 m/s2 = - 1,97 · 104 m/s2
Dunque in definitiva il valore della velocità massima e dell'accelerazione massima risultano rispettivamente:
37,68 m/s e 1,18·105 m/s2, mentre la velocità e l'accelerazione del corpo quando lo spostamento è di 0,2 cm valgono -37,15 m/s e - 1,97·104 m/s2.
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