Interazione tra cariche elettriche
Esercizio su interazione tra cariche elettriche
Tre sferette di massa 10 g sono sospese ognuna a un filo di lunghezza 1 m.
Ogni filo ha origine nello stesso punto del soffitto.
Ad un certo punto le tre sferette vengono caricate e si osserva che le tre masse, ora cariche, si allontanano tra di loro disponendosi in una posizione di equilibrio ed occupando i vertici di un triangolo equilatero di lato 10 cm.
Trovare quanto vale ciascuna carica.
Svolgimento
Le tre sfere presentate dal problema, sono dotate di massa m e inizialmente scariche.
Una volta caricate queste si dispongono, a causa delle interazioni elettriche tra le stessa, a formare un triangolo equilatero nel piano di appoggio:
I dati sono i seguenti:
m1 = m2 = m3 = 10 g = 10-2 kg
L = 1 m
d = 10 cm = 0,1 m
Per motivi di simmetria, poiché le cariche si dispongono a formare un triangolo equilatero, si deduce che tutte e tre le cariche devono essere uguali e dello stesso segno, in quanto le tre si allontanano tra di loro.
Assumiamole quindi tutte di segno positivo.
Ciascuna sfera è soggetta alle seguenti forze:
- forza peso P diretta verso il basso
- forza di repulsione colombiana Fe risultante generata dall'interazione con ciascuna delle altre due cariche
- tensione T della fune che sorregge ogni sfera.
Ora poiché le sfere sono ferme in equilibrio deve risultare:
Quest'ultima rappresenta un'equazione vettoriale che va scomposta nelle componenti x ed y.
Prima di procedere a scrivere le equazioni scalari, notiamo che il vettore relativo alla forza peso si trova sull'asse verticale, mentre quelli relativi alla forza elettrica ed alla tensione del filo risultano inclinato di un angolo rispetto alla verticale ed all'orizzontale.
In particolare, considerando il triangolo rettangolo che ha per ipotenusa L, per base metà della distanza d e l'altezza il segmento che unisce il vertice superiore da cui si diramano i fili al centro della congiungente delle due cariche 1-3
possiamo scrivere che:
L · cos α = d/2
Da cui
cos α = d/(2·L)
La forza elettrica risultante Fe è la somma vettoriale della forza di interazione con le altre due cariche:
I moduli di F12 ed F13 sono i medesimi, in quanto le cariche sono le stesse e le distanze tra ogni sfera sono identiche (triangolo equilatero), per cui
|F12| = |F13| = K0 · Q2/d2
Mentre F13 è posto lungo l'asse orizzontale, e quindi possiede solo la componente x, F12 è inclinato di un angolo di 60°rispetto all'orizzontale (ricordando che gli angoli interni di un triangolo equilatero valgono 60°):
Per cui risulta che la componente x della forza risultante Fe sarà pari a:
Fex = F12x + F13x = K0 · Q2/d2 ·cos60 + K0 · Q2/d2
Fex = K0 · Q2/d2 · (cos60 +1) = K0 · Q2/d2 · (0,5 +1)
Fex = 1,5· K0 · Q2/d2 = 3/2 · K0 · Q2/d2
La componente y sarà invece:
Fey = F12 · sen60 = √3/2· K0 · Q2/d2
Il modulo della risultante è:
La direzione della forza elettrica risultante sarà di 30° rispetto all'orizzontale, essendo quel vettore, dal punto di vista geometrico, la bisettrice dell'angolo di 60°.
Procediamo quindi con lo scrivere le due equazioni scalari delle forze (prendiamo come verso positivo delle asse x il verso a destra):
Nella prima equazione del sistema il termine T · cosα · cos30 rappresenta la proiezione lungo l'asse orizzontale di T.
Infatti il prodotto T · cosα restituisce la proiezione lungo l'altezza relativa al lato opposto alla carica 1, e il prodotto di quest'ultima misura per il cos30 restituisce la proiezione lungo la congiungente delle cariche 1-3.
Nella seconda equazione il termine
non è altro che l'espressione per ricavare il seno dell'angolo a partire dal coseno:
Ricaviamo T dalla seconda espressione:
Sostituiamo nella prima:
Da cui:
Ovvero:
Quindi:
Da cui:
Pertanto la carica presente su ciascuna sfera vale 3,2 μC.
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