Applicazione teorema di Torricelli e legge di Stevino
Esercizio con teorema di Torricelli e legge di Stevino
Un grande recipiente cilindrico alto 10 m ed aperto superiormente contiene dell'acqua.
Alla base del silos è presente una piccola conduttura orizzontale da cui l'acqua può fuoriuscire.
Calcolare quale deve essere la sezione del tubo affinché l'acqua in uscita possa avere una potenza di almeno 10 kW.
Considerare la pressione atmosferica pari a 1 atm.
Svolgimento
Il recipiente descritto nel problema e contenente acqua, la cui densità vale 1000 kg/m3, è provvisto di un tubo alla propria base, quindi posto ad un'altezza pari proprio a quella del recipiente rispetto al pelo libero dell'acqua.
L'acqua fuoriuscirà da tale tubo secondo quanto affermato dal teorema di Torricelli, per il quale dato un recipiente contenente un liquido non viscoso, se viene praticato un foro ad una profondità h, si ha che la velocità di efflusso del liquido dal foro è pari a:
I dati a nostra disposizione sono
h = 10 m
Patm = 1 atm = 105 Pa
ρ = 1000 kg/m3
Potenza = 10 kW =104 W
Ora, affinché l'acqua esca con la potenza richiesta, ipotizzando la sezione del tubo molto minore rispetto alla superficie del silos, possiamo approssimare come costante il livello di acqua all'interno del recipiente.
In tale ipotesi, la pressione esercitata sul fondo del recipiente, sarà pari, per la legge di Stevino, alla somma della pressione atmosferica più la pressione esercitata dalla colonna di acqua alta 10 m:
Pfondo = Patm + Pliquido = 105 + ρ · g ·h
Essendo costante la pressione esercitata dal fluido, sarà costante anche la forza F applicata sulla superficie del tubo.
Poiché è richiesta una certa potenza in uscita dell'acqua, questa è calcolabile (nell'ipotesi di forza costante) come il rapporto tra il lavoro meccanico e l'intervallo di tempo:
Potenza = Lavoro/tempo
Poiché F è costante e ricordando che il lavoro è pari a:
L = F · s
con s spostamento, possiamo scrivere:
Potenza = (F · s) / t = F · (s/t) = F · v
in cui v rappresenta proprio la velocità di fuoriuscita dell'acqua.
Ora ricordando la formula della pressione come rapporto di forza e superficie di applicazione della stessa, considerando la sezione S del tubo, possiamo scrivere:
Pfondo = F/S
Ma la forza sarà pari a:
F = Potenza/v
per cui
Pfondo = Potenza/(v · S)
Isoliamo la sezione S:
Dunque la sezione del tubo in uscita per ottenere la potenza desiderata dell'acqua è pari a 36 cm2.
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