Elettrone sparato all'interno di un condensatore
Esercizio su elettrone sparato all'interno di un condensatore
Un elettrone viene sparato ad una velocità di 5,45 · 106 m/s all'interno di un condensatore a facce piane e parallele di lunghezza pari a 2,25 cm.
La velocità iniziale dell'elettrone è parallela alle piastre.
All'uscita del condensatore l'elettrone risulta deflesso di 0,618 cm verso l'armatura positiva del condensatore.
Calcolare:
il valore del campo elettrico all'interno del condensatore;
la velocità finale dell'elettrone.
Si sappia che:
q = - 1,6 · 10-19 C (carica dell'elettrone, costante fondamentale)
m = 9,11 · 10-31 kg (massa dell'elettrone)
Svolgimento
Il problema presenta la situazione di moto di una carica all'interno di un condensatore.
Come ben noto, all'interno di un condensatore carico è presente un campo elettrico le cui linee di campo vanno dall'armatura positiva a quella negativa, mentre è nullo all'esterno del condensatore stesso.
Dunque l'elettrone viene iniettato con velocità parallela alle due armature, incontra nel suo moto le linee di campo elettrico perpendicolari alla velocità iniziale, per cui il risultato è quello di un moto parabolico, con moto rettilineo uniforme lungo l'asse x e moto rettilineo uniformemente accelerato, dovuto alla forza elettrica del campo, lungo y.
Il risultato finale è che l'elettrone devierà lungo la sua traiettoria rettilinea iniziale.
Trascuriamo ovviamente la forza peso perché ininfluente.
La situazione può essere allora schematizzata così:
I dati forniti dal problema sono:
q = - 1,6 · 10-19 C (carica dell'elettrone, costante fondamentale)
m = 9,11 · 10-31 kg (massa dell'elettrone)
l = 2,25 cm = 2,25 · 10-2 m
d = 0,618 cm = 0,618 · 10-2 m
v1 = 5,4 · 106 m/s
Scomponiamo il moto dell'elettrone lungo l'asse x e lungo l'asse y.
Lungo l'asse x avremo un moto rettilineo uniforme con legge oraria pari a:
X = v1 · t
Lungo l'asse y, l'elettrone sentirà invece una forza elettrica, dovuta alla presenza del campo E e quindi sarà soggetto ad un'accelerazione a pari a:
a = Felettrica/m = (E · q)/m
La legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato lungo y è:
Y = -½ · a · t2
in cui il segno meno davanti l'accelerazione è dovuta al fatto che la forza e l'accelerazione seguono lo stesso verso del campo elettrico che va dall'armatura positiva a quella negativa e quindi nel sistema di riferimento scelto, poiché l'asse y è rivolto verso l'alto, il vettore accelerazione è rivolto verso il basso.
Pertanto le due equazioni che descrivono la traiettoria dell'elettrone sono
X = v1 · t
Y = - ½ · a · t2
Sostituiamo la prima nella seconda:
t = X/ v1
Y = -½ · a · (X/ v1)2
Ma in precedenza abbiamo ricavato che:
a = (E · q)/m
Per cui, sostituendo, si ha che:
Abbiamo dunque ottenuto la posizione lungo y dell'elettrone in funzione di x.
Ora sappiamo che l'elettrone percorre l'intera lunghezza orizzontale l del condensatore e contemporaneamente percorre la distanza d lungo y.
Dunque:
Y(l) = d
Dunque:
Ricaviamo la formula inversa per E:
Per quanto riguarda invece la velocità finale dell'elettrone all'uscita del condensatore, dobbiamo che considerare che essa avrà due componenti: una orizzontale di modulo sempre pari a quella iniziale ed anche una componente verticale acquisita durante l'accelerazione subita all'interno del condensatore.
In particolare tale velocità v2 saprà pari a:
v2 = a · t
Ma il tempo t era pari a:
t = X / v1
Dunque
v2 = - a · X / v1 = - (E · q) / m · X / v1
Consideriamo lo spostamento orizzontale X pari alla lunghezza dell'armatura (l) ed otteniamo:
La velocità risultante V sarà data dalla somma vettoriale dei due vettori v1 e v2 che sono perpendicolari e quindi rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti i due vettori:
In definitiva le risposte alle richieste del problema sono le seguenti:
- il campo elettrico che ha provocato la deflessione dell'elettrone ha modulo pari a 4,1 · 103 V/m;
- la velocità finale dell'elettrone è pari a 6,2 · 106 m/s.
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