Densità lineare di carica
Esercizio sul calcolo della densità lineare di carica
Un filo infinito ed uniformemente carico con densità lineare λ è posto verticalmente ad una distanza D di 37 cm dal centro C di una sfera carica conduttrice di raggio R pari a 23 cm carica con densità superficiale σ 4,51∙10-8 C/m2.
Il campo elettrico totale è nullo nel punto P, posto alla stessa quota y del centro della sfera, ad una distanza L pari a 28 cm da esso, dalla parte opposta rispetto al filo.
Calcolare:
a) la densità lineare di carica λ del filo;
b) il campo elettrico E (componenti Ex ed Ey) nel punto A posto a distanza L sulla verticale del punto P
Svolgimento dell'esercizio
Il campo elettrico nel punto P è pari alla somma vettoriale del campo generato dal filo e da quello generato dalla sfera conduttrice carica.
Ora sappiamo che la sfera è carica positivamente, essendo la sua densità superficiale di carica σ positiva.
Dunque il campo generato dalla sfera all'esterno di essa ha direzione radiale rispetto al centro della sfera con verso uscente.
Allora il campo nel punto P posto alla stessa altezza del centro, sarà diretto verso destra orizzontalmente.
Siccome il campo in P risulta nullo, allora necessariamente il campo elettrico generato dal filo deve avere verso opposto rispetto a quella della sfera e deve averne lo stesso modulo.
Allora concludiamo che il filo sarà carico negativamente. Imponiamo l'uguaglianza dei moduli dei due campi:
Efilo = Esfera
in cui r è la distanza tra il punto P ed il filo, mentre Q è la carica complessivamente distribuita sulla superficie della sfera.
Per cui:
r = L + D
mentre Q è ricavabile dalla definizione di densità superficiale di carica:
Q = σ ∙ S
S è la superficie della sfera pari a 4∙π∙R2
In definitiva:
L'incognita da calcolare è la densità lineare di carica λ.
Risulta che:
Otteniamo, ricordando che la distribuzione lineare deve essere negativa:
λ = - 1,24 ∙ 10-7 C/m
Per calcolare le due componenti del campo elettrico in A, basta ricordare che il campo della sfera risulta inclinato di 45° rispetto all'orizzontale uscente dalla sfera, fornendo un contributo a Ex e a Ey, mentre il campo del filo è solo orizzontale e diretto verso sinistra.
Per cui:
Ex = Esfera ∙ cos45 - Efilo
Il punto A risulta lontano dal centro come la diagonale del quadrato di lato L, dunque la distanza sarà L∙√2:
Per la componente y invece avremo solo la componente verticale del campo generato dal filo e rivolto verso la direzione positiva dell'asse y:
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