Reazioni vincolari e vincolo
Che cosa sono le Reazioni vincolari e il vincolo?
Se un corpo, pur subendo l'azione di una forza o di una risultante non nulla di più forze, rimane fermo, allora esso provoca una reazione del suo piano di appoggio, detta forza di reazione vincolare o normale.
In questo caso infatti l'ambiente circostante, detto vincolo, esercita una forza uguale e contraria a quella esercitata sul corpo in modo tale che esso rimanga in quiete.
In generale la reazione vincolare non è determinabile a priori mediante formula, ma bisogna analizzare la situazione da un punto di vista dinamico, scomponendo tutte le forze in gioco.
Forza vincolare (N) nel piano orizzontale
Il caso più semplice da trattare per il calcolo della normale (o forza vincolare) è quando il vincolo è costituito da un piano orizzontale.
Immaginiamo un corpo in quiete di massa m poggiato su di un tavolo.
Su di esso agirà la forza peso perpendicolare al suolo e di modulo pari a m∙g.
Il corpo dunque preme sul piano in cui è poggiato a causa della forza di attrazione gravitazionale terrestre, deformandolo.
Visto che il corpo è in quiete, il tavolo deve produrre una forza uguale e contraria alla forza peso per mantenere tale il sistema:
Scelto come verso positivo quello rivolto verso l'alto, essendo il corpo fermo, la seconda equazione della dinamica lungo l'asse verticale diventa:
N – P = 0
Da cui
N = P
Passando ai moduli:
N = m ∙ g
Forza vincolare (N) nel piano inclinato
Consideriamo un corpo di massa m poggiato su un piano inclinato di un angolo α rispetto all'orizzontale
Sul corpo agisce la forza peso P diretta perpendicolarmente verso il suolo.
Poiché il corpo è poggiato, il piano di appoggio inclinato rappresenta il vincolo ed esercita sul corpo la forza di reazione vincolare N diretta perpendicolarmente rispetto al piano stesso:
Ora poniamo un sistema di assi cartesiani con l'asse y perpendicolare al piano di appoggio e l'asse x parallelo al piano inclinato.
Il vettore N risulterà avere solo componente y, in quanto parallelo all'asse y; il vettore P invece avrà due componenti: una verticale rivolta verso il basso presente nel semiasse negativo delle y ed una componente poggiata sul semiasse positivo delle x:
Chiamiamo le due componenti x e y della forza peso rispettivamente Fpx ed Fpy.
È possibile dimostrare con semplici considerazioni geometriche, che l'angolo α di inclinazione del piano è lo stesso che si viene a creare tra il vettore Fp e la sua componente y Fpy; per cui ricorrendo alla trigonometria possiamo affermare che la componente verticale della forza peso in un piano inclinato è pari a:
Fpy = Fp ∙ cosα = m ∙ g ∙ cosα
Scriviamo la seconda equazione della dinamica per l'asse y, che risulta orientato verso l'alto:
N – Fpy = 0
La somma delle forze è zero in quanto il corpo, quando si muove, trasla lungo l'asse x e non si muove lungo l'asse y, per cui la velocità, e quindi l'accelerazione, risultano nulle sull'asse y.
N - m∙g∙cosα = 0
da cui
N = m ∙ g ∙ cosα
Esercizio
Un'asta di massa m è appoggiata ad un muro per una estremità ed al pavimento per l'altra:
Ipotizzando la massa concentrata al suo centro, disegnare il vettore forza peso, la reazione vincolare del muro e del pavimento.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sulla reazione vincolare.
Esercizio
Un punto materiale di massa m viene lasciato cadere lungo una guida senza attrito che ad un certo punto diventa circolare.
Determinare quale deve essere la minima velocità v affinché il punto riesca a percorrere la guida circolare senza staccarsi mai da essa.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sulla forza vincolare.
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