Moto smorzato e velocità limite
Moto rettilineo smorzato e calcolo della velocità limite
Ci proponiamo di studiare il moto di un corpo in caduta libera se tale spostamento avviene in un fluido.
Come abbiamo già visto relativamente alle forze di attrito viscoso, quando un corpo si muove attraverso un fluido esso è soggetto ad una forza ritardante che dipende dalla velocità con cui scende il corpo.
Tale forza vale dunque:
Fr = - b∙v
Questa forza ha verso opposto alla velocità, ha infatti l'effetto di frenare il corpo, stessa direzione di essa e modulo proporzionale alla velocità secondo un certo fattore di proporzionalità che generalmente dipende dalla forma del corpo e dal tipo di fluido.
Legge della velocità - moto smorzato
Consideriamo un corpo di massa m che cade, partendo da fermo, all'interno di un fluido, soggetto unicamente alla sua forza peso e alla forza ritardante con coefficiente b.
Su questo corpo agirà la forza peso diretta verso il basso e la forza ritardante dovuta all'attrito viscoso diretta in maniera opposta verso l'alto:
Applichiamo il secondo principio della dinamica unicamente all'asse verticale, presa come positiva la direzione verso il basso:
P – Fr = m ∙ a
Il corpo cioè accelera finché la forza peso è superiore alla forza ritardante.
Quando le due forze si equivalgono, la loro differenza è nulla quindi vuol dire, per il primo principio della dinamica, che il corpo continuerà a scenderà a velocità costante detta velocità limite.
Ricordando che l'accelerazione è definita come rapporto tra variazione di velocità e di tempo:
a = ΔV/Δt
considerando un intervallo infinitesimo sia di velocità sia di tempo:
a = dV/dt
possiamo riscrivere l'equazione delle forze come:
m ∙ g - b ∙ v = m ∙ dv / dt
che può essere riscritta come
Quest'ultima rappresenta un'equazione differenziale che può essere risolta matematicamente pervenendo ad una soluzione che fornisce la velocità del corpo in caduta nel fluido in funzione del tempo:
in cui "e" è l'esponenziale numero di Nepero.
Quando il tempo tende ad un valore molto grande, il termine esponenziale e^(-b∙t/m) tende a zero, per cui la velocità assumerà il valore costante, come detto prima, pari a:
Vlimite = m ∙ g / b
Il termine che divide il tempo all'esponente di e
ovvero il termine m/b rappresenta il tempo necessario per raggiungere il 63% circa della sua velocità limite e si dice fattore di tempo o costante temporale.
Se il fattore b assume un valore molto grande allora la velocità limite assumerà un valore basso e il tempo impiegato per raggiungere i ⅔ circa di essa sarà limitato.
Esercizio
Disegnare il grafico velocità – tempo per un corpo di massa m che cade partendo da fermo all'interno di un fluido viscoso caratterizzato da un parametro caratteristico di viscosità b.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: grafico velocità-tempo nel moto smorzato.
Esercizio
Disegnare il grafico velocità – tempo per un corpo di massa trascurabile che viene lanciato verso l'alto con velocità V0 all'interno di un fluido viscoso.
Assumere come parametro caratteristico di viscosità il coefficiente b.
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: grafico velocità-tempo del moto di un corpo lanciato verso l'alto all'interno di un fluido viscoso.
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