Calcolo del termine incognito
Come si calcola il termine incognito di una proporzione?
Le proporzioni sono l'uguaglianza tra due rapporti (a : b = c : d), con b ≠ 0 e d ≠ 0 in cui a, b, c, d sono detti "termini della proporzione".
Solitamente tre dei termini di una proporzione sono noti mentre il quarto è incognito. Ad esempio, nella proporzione
3 : 4 = 50 : X
i termini 3, 4 e 50 sono noti mentre la X incognito.
In questa lezione vedremo come, applicando le proprietà delle proporzioni, è possibile determinare il valore del termine noto.
La prima cosa da fare per risolvere una proporzione è capire se l'incognita (X) è un termine medio o un termine estremo:
- i termini medi, o semplicemente medi, sono quelli che stanno nel mezzo, cioè quelli più vicini al segno dell'uguale
- i termini estremi o semplicemente estremi, sono quelli più lontani dall'uguale.
Nella proporzione
a e d sono i termini estremi della proporzione mentre b e c sono i termini medi.
Se il termine incognito è un estremo e quindi la proporzione è del tipo:
X : b = c : d
oppure
a : b = c : X
per ricavare il termine incognito si moltiplicano tra loro i medi e si divide il risultato per l'altro estremo.
Se invece il termine incognito è un medio e quindi la proporzione è del tipo:
a : X = c : d
oppure
a : b = X : d
per ricavare il termine incognito si moltiplicano tra loro gli estremi e si divide il risultato per l'altro medio.
Facciamo di seguito alcuni esempi pratici.
Calcolo del termine incognito: esercizio #1
Si ricavi il valore del termine incognito della seguente proporzione:
X : 10 = 2 : 5
Svolgimento
In questo caso il termine incognito è il "primo termine" ed è quindi agli estremi della proporzione.
Come detto in precedenza per calcolare il termine incognito dobbiamo moltiplicare tra loro i medi (che sono il 10 e il 2) e dividere il risultato per l'altro estremo (che è il 5). Si ha che:
Calcolo del termine incognito: esercizio #2
Si ricavi il valore del termine incognito della seguente proporzione:
7 : 21 = 6 : X
Svolgimento
In questo caso il termine incognito è il "quarto termine" ed è quindi agli estremi della proporzione.
Come detto in precedenza per calcolare il termine incognito dobbiamo moltiplicare tra loro i medi (che sono il 21 e il 6) e dividere il risultato per l'altro estremo (che è il 7). Si ha che:
Calcolo del termine incognito: esercizio #3
Si ricavi il valore del termine incognito della seguente proporzione:
3 : X = 6 : 12
Svolgimento
In questo caso il termine incognito è il "secondo termine" ed è quindi ai medi della proporzione.
Come detto in precedenza per calcolare il termine incognito dobbiamo moltiplicare tra loro gli estremi (che sono il 3 e il 12) e dividere il risultato per l'altro medio (che è il 6). Si ha che:
Calcolo del termine incognito: esercizio #4
Si ricavi il valore del termine incognito della seguente proporzione:
25 : 3 = X : 15
Svolgimento
In questo caso il termine incognito è il "terzo termine" ed è quindi ai medi della proporzione.
Come detto in precedenza per calcolare il termine incognito dobbiamo moltiplicare tra loro gli estremi (che sono il 25 e il 15) e dividere il risultato per l'altro medio (che è il 3). Si ha che:
Perché bisogna procedere come descritto in precedenza per ricavare il termine incognito di una proporzione?
Supponiamo di avere una generica proporzione del tipo:
X : b = c : d
Per risolvere la proporzione e determinare il valore X dobbiamo inizialmente applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni; la proporzione diventa un'equazione del tipo:
X · d = b · c
A questo punto, per ricavare la X, non ci rimane altro che dividere entrambi i prodotti per d:
Da cui, semplificando d al primo membro dell'equazione, è possibile ricavare il termine incognito X:
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