Spira immersa a metà in un campo magnetico
Esercizio su una spira quadrata immersa a metà in un campo magnetico
Su metà di una spira quadrata conduttrice di lato a = 2 m e resistenza R = 6,5 Ω agisce un campo B uniforme, perpendicolare alla spira e uscente dal foglio, come in figura.
Nel circuito è presente anche un generatore di forza elettromotrice ℰ = 3 V, di resistenza interna r = 0,5 Ω.
Il modulo del campo magnetico decresce linearmente nel tempo e vale B0 = 0.5 T al tempo t0 = 0, per poi annullarsi in t1 = 0,25 s.
Calcolare, nell'intervallo di tempo Δt = t1 - t0 l'intensità della corrente che scorre nella spira.
Svolgimento dell'esercizio
La spira in questione rappresenta un circuito elettrico in cui sono presenti due resistenze in serie ad un generatore di fem da 3 V. In assenza del campo magnetico la corrente che scorre nella spira è pari a:
Essa scorre dal polo + al polo – della batteria quindi in senso antiorario. La resistenza R si trova però insieme a metà della superficie del circuito immersa in un campo magnetico di intensità variabile il cui flusso variabile nel tempo genererà quindi una corrente indotta nella spira.
In particolare dobbiamo ricavare la legge con cui varia il campo magnetico. Dal testo del problema si evince che modulo del campo magnetico decresce linearmente nel tempo e vale B0 = 0,5 T al tempo t0 = 0, per poi annullarsi in t1 = 0,25 s.
Dobbiamo allora trovare una retta che esprima B (y) in funzione del tempo t (x). Il coefficiente di tale retta è data dal rapporto della variazione delle y rispetto alla variazione delle x:
Mentre il valore del campo per t = 0 è 0,5. Quindi la legge che esprime la variazione di B è:
B = - 2 ∙ t + 0,5
Applichiamo la legge di Faraday Neumann Lenz a mezzo circuito utilizzando la derivata per trovare il valore della fem indotta:
Ora la superficie è pari a metà area del quadrato mentre la derivata del campo magnetico rispetto al tempo è -2:
La corrente indotta quindi è pari a:
Quale sarà il verso della corrente indotta?
Poiché il campo magnetico esterno sta decrescendo la corrente indotta scorrerà in un verso tale da generare a sua volta un altro campo magnetico che andrà ad opporsi alla variazione di quello che sta diminuendo e quindi anche esso uscente dalla pagina. Cioè il campo magnetico indotto tenderà a rafforzare il campo magnetico che sta diminuendo.
Il campo magnetico esterno era diretto uscente dalla pagina e il campo magnetico sarà diretto nello stesso verso per cui la corrente indotta circolerà in senso antiorario (regola della mano destra).
Quindi la corrente erogata dalla batteria e quella indotta scorreranno nello stesso verso sommandosi e l'intensità di corrente totale che scorre nella spira è pari a:
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