Massima potenza dissipata da una resistenza
Massima potenza dissipata da una resistenza collegata in serie ad un'altra
Una resistenza variabile R è collegata a un generatore reale di tensione dotato di resistenza interna che eroga una tensione V.
Determinare per quale valore di R la potenza dissipata su questa resistenza è massima.
Svolgimento dell'esercizio
L'esercizio propone il caso di una resistenza variabile R collegata a un generatore reale di tensione dotato di resistenza interna che eroga una tensione V.
Il problema chiede di calcolare per quale valore di R la potenza dissipata per effetto Joule su questa resistenza è massima.
La corrente che circola nel circuito considerando che R e r sono in serie vale:
i = V / Rtot = V / (r + R)
La potenza dissipata sulla resistenza R in funzione di R stesso dunque vale:
P(R) = R ∙ i2 = R ∙ V2 / (r + R)2
Questa è una funzione che esprima la potenza in funzione della resistenza R. Le costanti sono V ed r.
Per calcolare il massimo di una funzione calcoliamone la derivata prima:
Per trovare il massimo della funzione bisogna studiare il segno della sua derivata prima.
Nell'espressione della derivata l'unico elemento determinante ai fini del segno è il termini (r-R); infatti V2 è un termine sempre positivo così come (r+R) e dunque non influenti a livello di segno.
Poniamo maggiore di zero la derivata prima
P'(R) > 0
r – R > 0
R < r
Ricordandoci del vincolo che R essendo una grandezza relativa alla resistenza può solo assumere valori positivi:
La derivata prima è positiva quando R < r e quindi la funzione P è crescente in tale intervallo, configurando un massimo quando R = r.
Quindi quando la resistenza esterna R è uguale alla resistenza interna r del generatore si ottiene il massimo trasferimento di potenza sulla resistenza esterna.
Link correlati:
Calcolo dell'energia dissipata per effetto Joule da una corrente variabile nel tempo
Esercizi online e gratuiti sui condensatori
Collegamento di due o più condensatori in parallelo
Esercizio svolto e commentato sulla capacità di un condensatore
Studia con noi