Carrelli collegati da una fune
Esercizio rigurdante tre carrelli collegati da una fune
Tre carrelli solo legati tra di loro tramite una fune.
Le masse dei tre carrelli sono rispettivamente 3 kg, 10 kg e 17 kg.
Al terzo carrello, posto più a destra, viene applicata una forza di 60 N.
Calcolare l'accelerazione con cui si muove il sistema e le tensioni delle funi tra il primo ed il secondo carrello e tra il secondo ed il terzo.
Svolgimento
La situazione descritta dal problema è schematizzabile secondo il seguente schema:
I dati forniti sono:
F = 60 N
m1 = 3 kg
m2 = 10 kg
m3 = 17 kg
Scriviamo per ogni carrello quale forza lungo il piano del moto, orizzontale, agisce.
Partiamo dal carrello 3.
Su di esso agirà la forza F di 60 N diretta verso destra e la tensione Tb che lo lega al carrello 2, diretta verso sinistra.
Per cui avremo:
F - Tb = m3 · a
in cui a è l'accelerazione comune ad ogni massa.
Per il carrello 2 invece avremo la tensione B verso destra e la tensione che lega al primo carrello, Ta, verso sinistra:
Tb - Ta = m2 · a
Infine il carrello 1 sarà soggetto solamente alla tensione Ta:
Ta = m1 · a
Poniamo a sistema le tre equazioni:
Sostituiamo la terza nella seconda:
Tb - m1 · a = m2 · a
Tb = m1 · a + m2 · a
E quest'ultima nella prima
F - (m1 · a + m2 · a ) = m3 · a
F = m1 · a + m2 · a + m3 · a = ( m1 + m2 + m3) · a
Per cui l'accelerazione con cui si muoverà il sistema è:
a = F / ( m1 + m2 + m3) = 60 / (3 + 10 + 17) = 2 m/s2
Sfruttiamo le precedenti equazione per ricavare invece Ta e Tb:
Ta = m1 · a = 3 · 2 = 6 N
Tb = m1 · a + m2 · a = (m1 + m2) ·a = (3 + 10) · 2 = 26 N
Per cui la tensione della fune tra il primo ed il secondo carrello vale 6 N, mentre quella tra il secondo ed il terzo vale 26 N.
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