Esercizio sulla legge di Coriolis
Esercizio svolto sulla legge di Coriolis
Un insetto si trova su una piattaforma scabra rotante alla velocità angolare di 4,7 rad/s.
L'insetto si sta muovendo in direzione radiale dal centro verso la periferia del disco ad una velocità relativa rispetto al sistema di 1 cm/s (centimetri al secondo) e il coefficiente di attrito statico tra insetto e piattaforma è di 0,08.
Calcolare a quale distanza dal centro l'insetto inizierà ad essere spostato dalla propria traiettoria rettilinea.
Svolgimento dell'esercizio
L'insetto inizierà a slittare quando la forza di attrito non bilancerà più né la forza centrifuga né la forza di Coriolis agenti sul corpo:
Fatt ≤ Fcentrifuga + Fcoriolis
Analizziamo e calcoliamo il modulo di ogni singola forza per poi tornare alla disequazione.
La forza di attrito è pari al prodotto del coefficiente di attrito per la forza peso (essendo la superficie piana):
Fatt = μ ∙ m ∙ g
La forza centrifuga ha lo stesso modulo della forza centripeta ma cambiata di segno.
In questo caso abbiamo già provveduto a cambiarla di segno avendo lo stesso verso della forza di Coriolis.
Per cui:
Fcentrifuga = m ∙ acentripeta = m ∙ ω2 ∙ R
in cui R è appunto la distanza dal centro della piattaforma.
Infine la forza di Coriolis ha modulo pari a:
Fcoriolis = 2 ∙ m ∙ ω ∙ Vrel
essendo la velocità relativa diretta lungo il raggio (la velocità relativa vale 1 cm/s = 0,01 m/s).
Ora, la forza centrifuga e la forza di Coriolis non sono dirette nella stessa direzione bensì sono perpendicolari in quanto la forza di Coriolis è perpendicolare alla velocità relativa del corpo mentre la forza centrifuga ha direzione radiale, proprio come la velocità relativa; per cui forza di Coriolis e forza centrifuga risultano perpendicolari tra di loro.
Per calcolare la forza risultante tra la forza di Coriolis e quella centrifuga utilizziamo il teorema di Pitagora:
Fris = √[(Fcoriolis)2 + (Fcentrifuga)2 ] = √[(2 ∙ m ∙ ω∙Vrel)2 + (m ∙ ω2∙ R)2]
Da cui:
Fris = √[4 ∙ m2 ∙ ω2 ∙ Vrel2 + m2 ∙ ω4 ∙ R2]
Ricordando che deve valere:
Fatt ≤ Fcentrifuga + Fcoriolis
e che:
Fatt = μ ∙ m ∙ g
si ha che:
μ ∙ m ∙ g ≤ Fris
e quindi che:
μ ∙ m ∙ g ≤ √[4 ∙m2 ∙ ω2 ∙ Vrel2 + m2 ∙ ω4 ∙ R2]
Eleviamo al quadrato ambo i membri:
μ2 ∙ m2 ∙ g2 ≤ 4 ∙ m2 ∙ ω2 ∙ Vrel2 + m2 ∙ ω4 ∙ R2
Possiamo semplificare il termine della massa m poiché compare in ogni termine:
μ2 ∙ g2 ≤ 4 ∙ ω2 ∙ Vrel2 + ω4 ∙ R2
ω4 ∙ R2 ≥ μ2 ∙ g2 - 4 ∙ ω2 ∙ Vrel2
R2 ≥ [μ2 ∙ g2 - 4 ∙ω2 ∙ Vrel2]/ ω4
R ≥ √[μ2 ∙ g2 - 4 ∙ω2 ∙ Vrel2]/ ω4
R ≥ 1/ ω2 ∙ √[μ2 ∙ g2 - 4 ∙ ω2 ∙ Vrel2]
Per cui la distanza critica dal centro per cui inizia lo slittamento dell'insetto è pari a:
Rmax = 1/4,72 ∙ √ (0,082 ∙ 9,82 - 4 ∙ 4,72 ∙ 0,012) = 0,035 m = 3,5 cm
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