Esercizio sull'attrito radente
Esercizio svolto sull'attrito radente
Considerare un corpo che sta scivolando lungo un piano inclinato di un angolo θ rispetto all'orizzontale nei due casi in cui la superficie sia liscia e scabra con coefficiente di attrito dinamico μd.
Verificare, in entrambi i casi, come varia l'accelerazione in funzione dell'angolo θ.
Svolgimento dell'esercizio
L'esercizio propone il caso di un corpo che sta scivolando lungo un piano inclinato di un angolo θ rispetto all'orizzontale.
Si vuole determinare come varia l'accelerazione del corpo in funzione dell'angolo θ in entrambi i casi (superficie liscia e superficie scabra).
Disegniamo il diagramma di corpo libero per l'oggetto che sta scendendo lungo il piano liscio:
e lungo quello scabro:
Consideriamo inzialmente il piano liscio
Nel primo caso l'unica forza che agisce lungo la direzione parallela al piano è la componente x della forza peso; per cui possiamo scrivere:
m · g · senθ = m · a
da cui
a = g · senθ
Quindi l'accelerazione a cui è soggetto un corpo di qualsiasi massa che sta scendendo su di un piano inclinato liscio è il prodotto dell'accelerazione di gravità per il seno dell'angolo alla base del piano.
Consideriamo adesso il caso scabro
In questa situazione rispetto al caso del piano liscio oltre alla componente parallela della forza peso agisce la forza di attrito, di verso contrario al verso della discesa del corpo:
- Fatt + Px = m · a
- μd · N + m · g · senθ = m · a
Se consideriamo l'asse y del sistema di riferimento possiamo facilmente calcolare il modulo della normale:
N - m · g · cosθ = 0
N = m · g · cosθ
Sostituiamo allora nella relazione trovata prima:
- μd · N + m · g · senθ = m · a
- μd · m · g · cosθ + m · g · senθ = m · a
Semplifichiamo m:
a = g · senθ - μd · g · cosθ = g · (senθ - μd · cosθ)
I due casi limite θ = 0 (piano orizzontale) e θ = 90 (caduta libera) sono coerenti con quanto si conosce relativamente ai moti dei corpi.
Infatti nel primo caso l'accelerazione diventerebbe semplicemente - μd · g e nel secondo caso si annullerebbe l'attrito e avremmo a = g, cioè il corpo cade soggetto alla sola accelerazione di gravità.
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