Esercizio sul galleggiamento
Esercizio svolto sul galleggiamento
Una sfera di rame (ρCu = 8900 kg/m3) galleggia sul mercurio (ρHg = 13600 kg/m3).
Si valuta che emergono i ⅚ della sfera dal mercurio.
Si richiede di verificare se la sfera è piena o presenta una cavità ed in tal caso determinare la percentuale di cavità rispetto al volume totale.
Svolgimento
La sfera è in equilibrio e galleggia nel mercurio.
Su di essa agisce la sua forza peso diretta verso il basso e la forza di Archimede agente invece verso l'alto.
Poiché siamo in condizioni statiche, le due forze si equivalgono:
P = Sa
Introducendo il concetto di densità definita come il rapporto tra massa e volume della sfera:
ρCu = m/V
possiamo scrivere la massa della sfera in funzione della densità e del proprio volume totale, come:
m = ρCu · V
mentre la spinta si Archimede è pari a:
Sa = ρHg · Vimmerso · g
in cui Vimmerso fa riferimento solo al volume del corpo che si trova sott'acqua.
Dai dato del problema si evince che emergono i ⅚ del volume totale della sfera, per cui il volume immerso vale:
Vimmerso = ⅙ · V
Possiamo dunque scrivere
P = Sa
m · g = Sa
ρCu · V · g = ρHg · Vimmerso · g
ρCu · V · g = ρHg · ⅙ · V · g
semplificando V e g:
ρCu = ρHg · ⅙
Poiché
ρCu ≠ ρHg · ⅙
La sfera non può essere piena ma sarà costituita in parte da una cavità Vc tale per cui la sua massa risulti pari a:
m = ρCu · (V - Vc)
Dunque la precedente relazione si modifica come:
m · g = Sa
ρCu · (V - Vc) · g = ρHg · Vimmerso · g
ρCu · (V - Vc) · g = ρHg · ⅙ · V · g
semplifichiamo g
ρCu · (V - Vc) = ρHg · ⅙ · V
Svolgiamo i calcoli:
ρCu · V - ρCu · Vc = ρHg · ⅙ · V
ρCu · Vc = ρCu · V - ρHg · ⅙ · V
Vc = V · (ρCu - ρHg / 6 ) / ρCu = V · (8900 - 13600 / 6 ) / 8900 = 0,745 · V
In definitiva la sfera risulterà cava per il 74,5 % del suo volume totale.
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