Esercizio su una trasformazione isobarica
Esercizio svolto su una trasformazione isobarica
2,5 moli di un gas biatomico contenuto all'interno di un pistone mobile si espande alla pressione di 1,5 atm passando da un volume iniziale di 300 dm3 a un volume finale doppio.
Calcola il lavoro, il calore e la variazione di energia interna specificando se calore e lavoro sono rispettivamente acquisiti/ceduti o eseguiti/subiti dal gas sull'ambiente.
Svolgimento
La trasformazione descritta dal problema è di tipo isobarico, ovvero avviene a pressione costante in quanto il pistone è libero di muoversi e quindi durante la sua espansione il gas può mantenere la propria pressione interna costante.
I dati forniti dal problema sono:
P = 1,5 atm = 1,5 · 105 Pa
V1 = 300 dm3 = 0,3 m3
V2 = 600 dm3 =0,6 m3
n = 2,5 moli
in cui abbiamo riportato pressione e volume nelle unità di misura del S.I..
Ora il lavoro in una trasformazione isobara è dato da:
L = P · ΔV
ovvero il prodotto della pressione costante per la variazione di volume.
Infatti se rappresentiamo la trasformazione in un grafico PV
sappiamo che l'area sottesa dalla curva rappresenta proprio il lavoro della trasformazione.
In questo caso l'area è proprio la superficie del rettangolo di altezza P e di base ΔV.
Per cui:
L = 1,5 · 105 · (0,6 - 0,3) = 0,45 · 105 J
In una trasformazione isobara (a pressione costante) il calore può essere calcolato come:
Q = Cp · n · ΔT
in cui Cp è il calore specifico a pressione costante, n il numero di moli e ΔT la variazione di temperatura.
Il calore specifico a pressione costante per un gas biatomico vale:
Cp =7/2 · R
per cui:
Q = Cp · n · ΔT
Possiamo calcolare la variazione di temperatura a partire dall'equazione di stato dei gas perfetti:
ΔT = T2 - T1 = P · V2 / (n · R) - P · V1 / (n · R) = [P / (n · R)] · (V2 - V1)
Sostituendo otteniamo dunque:
Q = Cp · n · ΔT = 7/2 · R · n · [P / (n · R)] · (V2 - V1) = 7/2 · P · (V2 - V1)
Sostituendo i dati in nostro possesso si ha:
Q = 7/2 · P · (V2 - V1) = 3,5 · 1,5 · 105 · (0,6 - 0,3) = 1,58 · 105 J
Infine applicando il primo principio della termodinamica:
ΔU = Q - L = (1,58 - 0,45) · 105 J = 1,13· 105 J
In base alla convenzione dei segni essendo il calore positivo vuol dire che il gas acquisirà calore dall'ambiente, ed essendo il lavoro positivo vuol dire che questo viene compiuto dal gas sull'ambiente (ed infatti il pistone si solleva a causa dell'espansione).
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