Piano inclinato abbinato ad una molla
Esercizio riguardante un piano inclinato abbinato ad una molla
Un corpo di massa m = 0,2 kg è posto alla sommità di un piano inclinato scabro di 30° rispetto all'orizzontale e lasciato libero di scendere da fermo fino alla base.
L'altezza del piano inclinato è pari a 0,70 m e il coefficiente di attrito tra corpo e piano è pari a 0,4.
Alla base del piano inclinato, è posta una molla sul tratto orizzontale liscio, quindi privo di attrito.
Sapendo che la costante elastica della molla vale 1200 N/m, calcolare la velocità con cui il corpo raggiunge la molla e la massima compressione della molla.
Svolgimento dell'esercizio
Siamo in presenza di un piano inclinato scabro, ovvero un piano in cui è presente forza di attrito.
I dati forniti dal problema sono :
m = 0,2 kg
α = 30°
V0 = 0 (il corpo è inizialmente fermo)
h = 0,70 m
μ = 0,4
k = 1200 N/m
Il corpo è posto alla sommità del piano inclinato ed è soggetto alle seguenti forze:
- la forza peso
diretta verticalmente verso il basso; - la forza di reazione
perpendicolare al piano; - la forza di attrito
che si oppone al moto e quindi poiché la massa scende, essa è rivolta verso la sommità del piano; - la risultante
diretta verso il basso.
Scriviamo le due equazioni vettoriali proiettate lungo gli assi:
{Px - Fatt = m·a
{N - Py = 0
in cui Px e Py sono rispettivamente le componenti orizzontale e verticale della forza peso.
Abbiamo scelto come positivo il verso con cui sta scendendo la massa.
Sviluppando i termini:
{m·g·sen30 - μ· N = m · a
{N = m·g·cos30
Quindi otteniamo:
m·g·sen30 - μ· m·g·cos30 = m·a
Semplifichiamo m:
g·sen30 - μ ·g·cos30 = a
per cui ricaviamo che l'accelerazione a con cui scende il corpo è:
a = g·sen30 - μ ·g·cos30 = g· (sen30 - μ ·cos30) = 9,8· (sen30 - 0,4 ·cos30) = 1,5 m/s2.
Poiché conosciamo l'altezza e l'angolo alla base del piano inclinato, possiamo ricavare la lunghezza del piano che corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo di cui conosciamo la misura del cateto verticale (l'altezza appunto).
Detta L la lunghezza del piano, ricordiamo che:
L·sen30 = h
da cui
L = h / sen30 = 0,7 / sen30 = 1,4 m
Visto che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, possiamo utilizzare la nota formula
2·a·L = V2 - V02
per ricavare la velocità finale alla base del piano V:
Il testo del problema prosegue nella sua richiesta di calcolare la massima compressione della molla che il corpo incontra proseguendo il suo moto in un piano orizzontale liscio.
Non essendo presenti ulteriori forze orizzontali lungo il piano, il corpo proseguirà di moto rettilineo uniforme con velocità costante pari al valore appena ricavato.
Una volta incontrata la molla l'energia cinetica posseduta dal corpo si trasferisce interamente alla molla sotto forma di energia potenziale elastica, dunque possiamo scrivere:
in cui x è la compressione della molla.
Dunque in definitiva la velocità con cui il corpo giunge alla base del piano inclinato vale 2,05 m/s mentre la molla si comprimerà di 2,6 cm arrestando il moto del corpo.
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Quali sono le formule del piano inclinato?
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