Accelerazione di un sistema formato da due blocchi posti su un piano inclinato

Calcolo dell'accelerazione di un sistema formato da due blocchi posti su un piano inclinato

Su di un piano inclinato di 30°, sono posti due blocchi di 8 kg e 16 kg collegati tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile.

I due blocchi scivolano lungo il piano inclinato, in particolare è il blocco di 8 kg a trascinare il blocco di 16 kg.

Il piano è scabro e il coefficiente di attrito dinamico tra i due blocchi ed il piano è rispettivamente di 0,2 e 0,1.

Si determini l'accelerazione del sistema e la tensione della fune.

Svolgimento dell'esercizio

Riscriviamo i dati proposti dal problema:

α = 30°

M₁ = 16 kg

M₂ = 8 kg

μ₁ = 0,2

μ₂ = 0,1

I due blocchi sono poggiati sul piano inclinato e stanno scendendo verso la base; la prima massa che scende è M₂ che trascina M₁, collegata alla prima tramite una fune.

Rappresentiamo il diagramma di corpo libero per entrambe le masse.

Sulla massa M₁ agiscono le seguenti forze:

la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
la tensione della fune rivolta verso la massa M₂;
la forza di reazione perpendicolare al piano;
la risultante diretta verso la base del piano;
la forza di attrito che si oppone al moto e quindi poiché la massa scende, essa è rivolta verso l'estremo superiore del piano.

Sulla massa M₂ invece:

la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
la tensione della fune rivolta verso la massa M₁;
la forza di reazione perpendicolare al piano;
la risultante diretta verso la base del piano;
la forza di attrito che si oppone al moto e quindi poiché la massa scende, essa è rivolta verso l'estremo superiore del piano.

Possiamo dunque scrivere le equazioni scalari per M₁ e M₂.

Avremo per M₁ lungo i due assi:

{P_x + T - F_att = M₁·a

{N - P_y = 0

Abbiamo scelto come positivo il verso con cui sta scendendo la massa.

{M₁·g·sen30 + T - μ₁· M₁·g·cos30 = M₁·a

{N = M₁·g·cos30

Per la massa M₂ analogamente:

{M₂·g·sen30 - T - μ₂· M₂·g·cos30 = M₂·a

{N = M₂·g·cos30

Per cui si tratta di risolvere il sistema lineare di primo grado:

{M₁·g·sen30 + T - μ₁· M₁·g·cos30 = M₁·a