Condizione di equilibrio su un piano inclinato
Condizione di equilibrio su un piano inclinato scabro di 30°
Una cassa è posta su un piano inclinato scabro di un angolo di 30° rispetto all'orizzontale.
Qual è il coefficiente di attrito che il piano deve possedere affinché la cassa non scivoli verso il basso?
Svolgimento dell'esercizio
Il problema presenta una situazione di equilibrio in cui un corpo è posto su di un piano inclinato di angolo α pari a:
α = 30°
Se il corpo rimane fermo sul piano, vuol dire che la risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo è nulla, ovvero la seconda equazione della dinamica diventa:
Vediamo quali sono le forze che agiscono sul corpo:
- la forza peso
diretta verticalmente verso il basso; - la forza di attrito
parallela al piano ma con verso opposto alla componente parallela della forza peso; - la forza di reazione
perpendicolare al piano.
Se non ci fosse la forza di attrito, l'unica forza ad agire lungo il piano parallelo al piano sarebbe la componente x della forza peso e quindi la massa scenderebbe lungo il piano naturalmente. Invece in questo caso:
Ovvero corrispondente a due equazioni scalari, una lungo x
Px - Fatt = 0
ed una lungo y:
N - Py = 0
Sviluppiamo le precedenti due equazioni:
m·g·sin30 - μ·N = 0
in cui
μ è il coefficiente di attrito, l'incognita richiesta dal problema.
N - m·g·cos30 = 0
Pertanto le due equazioni che descrivono l'equilibrio del corpo sono:
{ m·g·sin30 - μ·N = 0
{ N - m·g·cos30 = 0
Dalla seconda ricaviamo N:
N = m·g·cos30
e sostituiamo nella prima:
m·g·sin30 - μ·N = 0
m·g·sin30 - μ·m·g·cos30 = 0
Semplifichiamo m·g:
sin30 - μ·cos30 = 0
μ ·cos30 = sin30
μ = sin 30 / cos 30 = tg30 = 0,58
Pertanto il coefficiente di attrito che il piano deve possedere affinché la cassa non scivoli verso il basso è pari a 0,58.
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