Accelerazione con cui scende un corpo lungo un piano inclinato
Calcolo della accelerazione con cui scende un corpo lungo un piano inclinato
Un corpo striscia con velocità costante su di un piano inclinato di un angolo α rispetto all'orizzontale in cui è presente un coefficiente di attrito μ.
Con quale accelerazione striscerà nello stesso piano se l'angolo di inclinazione viene aumentato al valore θ?
Svolgimento dell'esercizio
Il problema presenta due diverse situazioni relative allo stesso piano inclinato scabro: nella prima il piano inclinato ha angolo α rispetto all'orizzontale ed in tale configurazione il corpo si muove a velocità costante, mentre nella seconda l'angolo di inclinazione viene aumentato al valore θ e il corpo, come viene precisato, si muoverà con accelerazione a.
Partiamo ad analizzare la prima situazione, cioè quella in cui il piano inclinato ha angolo α.
È detto che il corpo si muove a velocità costante, ciò vuol dire che la risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo è nulla.
Le forze che agiscono sul corpo sono:
- la forza peso
diretta verticalmente verso il basso; - la forza di reazione
perpendicolare al piano; - la forza di attrito
che si oppone al moto e quindi poiché la massa scende, essa è rivolta verso la sommità del piano.
Le due equazioni scalari delle forze lungo i due assi sono:
Px - Fatt = 0 lungo l'asse x
e lungo y:
N - Py = 0
in cui Px e Py sono rispettivamente la componente parallela e perpendicolare della forza peso.
Sviluppiamo le precedenti due equazioni:
{m·g·sin α - μ·N = 0
{N - m·g·cos α = 0
Pertanto le due equazioni che descrivono l'equilibrio del corpo sono:
{ m·g·sin α - μ·N = 0
{ N - m·g·cos α = 0
Dalla seconda ricaviamo N:
N = m·g·cosα
e sostituiamo nella prima:
m·g·sin α - μ·N = 0
m·g·sin α - μ· m·g·cos α = 0
Semplifichiamo m·g:
sin α - μ ·cos α = 0
μ ·cos α = sin α
μ = senα / cosα = tgα
Per cui il coefficiente di attrito presente sul piano vale tg α.
Consideriamo adesso la seconda configurazione, quella cioè in cui l'angolo di inclinazione viene aumentato al valore θ e la massa subisce accelerazione a.
In questo caso le forze che agiscono sono:
- la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
- la forza di reazione perpendicolare al piano;
- la risultante
diretta verso la base del piano; - la forza di attrito che si oppone al moto e quindi poiché la massa scende, essa è rivolta verso l'estremo superiore del piano.
L'equazione vettoriale delle forze sarà:
Le due equazioni scalari delle forze lungo i due assi sono:
Px - Fatt = m·a lungo l'asse x
e lungo y:
N - Py = 0
Sviluppiamo le precedenti due equazioni:
{m·g·sin θ - μ·N = m·a
{N - m·g·cos θ = 0
Dalla seconda ricaviamo N:
N = m·g·cosθ
e sostituiamo nella prima:
m·g·sin θ - μ·N = m·a
m·g·sin θ - μ· m·g·cos θ = m·a
ricordando che, come abbiamo precedentemente ricavato:
μ = tgα
allora:
m·g·sin θ - tgα · m·g·cos θ = m·a
semplifichiamo m:
g·sin θ - tgα · g·cos θ = a
Quindi risulta che l'accelerazione con cui scende il corpo, una volta che l'angolo alla base del piano inclinato è stato aumentato fino al valore θ vale:
a = g·sin θ - tgα · g·cos θ = g·(sin θ - tgα·cos θ)
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Quali sono le formule del piano inclinato?
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