Corpo che scende lungo un piano inclinato
Esercizio riguardante un corpo che scende lungo un piano inclinato
Un corpo di massa m = 1kg parte da fermo e sta scendendo lungo una rampa priva di attrito lunga 10 m ed alta 5 m.
Rappresenta graficamente la forza peso 
e le sue due componenti orizzontale e verticale e calcolane il modulo.
Con quale accelerazione scende il corpo?
Quanto tempo impiega ad arrivare fino in fondo alla rampa se parte dall'estremo superiore?
E con che velocità vi giunge alla base?
Svolgimento dell'esercizio
L'esercizio presenta una situazione in cui vi è un piano inclinato ed un corpo che sta scendendo lungo di esso.
Di tale piano inclinato, o rampa, conosciamo la lunghezza L e l'altezza h:
L = 10 m
h = 5 m
Con semplici considerazione trigonometriche, detto α l'angolo che il piano inclinato forma con l'orizzontale ricaviamo che
sen α = h/L = 5/10 = 0,5
Quindi l'angolo α è pari a
α = arcsen (0,5 ) = 30°
Il problema chiede dunque di rappresentare il vettore forza peso e le sue due componenti Px e Py in un sistema di assi coordinati con l'asse x parallelo al piano inclinato e l'asse y perpendicolare ad esso.
Pertanto la rappresentazione grafica della forza peso relativa al corpo presente sul piano inclinato di 30° è:
L'angolo in C è di 30° ed il modulo di vale:
P = m·g = 1· 9,8 = 9,8 N
Possiamo notare come il vettore sia diretto verso il basso verticalmente, essendo la forza peso, mentre le due componenti orizzontale e verticale risiedono sui due assi coordinati e valgono rispettivamente:
Px = m·g·sin30 = 1 · 9,8 · sen30 = 4,9 N
Py = m·g·cos30 = 1 · 9,8 · cos30 = 8,49 N
Scriviamo adesso la seconda equazione delle dinamica relativa al corpo in termini vettoriali prima e scalari dopo:
In cui :
F è la sommatoria risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo e si misura in Newton il cui simbolo è N (scritto in stampato maiuscolo).
m è la massa del corpo in kg
a è l'accelerazione che si misura in m/s2.
L'equazione vettoriale appena scritta è associata a due equazioni scalari una lungo x ed una lunga y, ma poiché il moto si svolge solo lungo l'asse orizzontale scriviamo l'equazione scalare lungo x utilizzando di ogni forza la sua proiezione lungo quell'asse.
L'unica forza orizzontale che agisce sul corpo è proprio la componente parallela della forza peso.
Perciò l'equazione delle forze diventa:
Px = m·a
m·g·sin30 = m·a
Sia Px sia m·a sono diretti verso l'estremo C, per cui prendiamo come positivo quel verso.
Semplifichiamo la massa m ed otteniamo
a = g·sin30 = 9,8 ·sin30 = 4,9 m/s2.
Il corpo dunque scende lungo la rampa di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante a, percorre uno spazio pari a L partendo con velocità iniziale nulla (il corpo era fermo inizialmente così come recita il testo):
a = 4,9 m/s2
L = 10 m
Vo = 0
Ricordando che in un moto rettilineo uniformemente accelerato lo spazio in funzione del tempo è dato da:
ricaviamo la formula inversa per t:
Infine calcoliamo la velocità con cui giunge alla base del piano; la velocità in funzione del tempo è data da:
V(t) = a·t + Vo
Per cui per t = 2 s
V(2) = 4,9·2 = 9,8 m/s
Ricapitolando: le due componenti della forza peso valgono rispettivamente 4,9 N e 8,49 N; il corpo giunge al suolo in 2 s e con velocità 9,8 m/s.
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Quali sono le formule del piano inclinato?
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