Corpi che si muovono di moto rettilineo uniforme
Corpi che si muovono di moto rettilineo uniforme lungo lo stesso tragitto
Due auto partono nel medesimo istante da due caselli autostradali A e B distanti 20 Km, diretti entrambi verso un terzo casello C distante 50 Km da A e 30 Km da B.
Le due auto viaggiano nella stessa direzione e verso.
L'auto partita da A viaggia a velocità costante pari a Va=100 km/h, l'auto partita da B viaggia a velocità costante Vb=50 km/h.
Dopo quanto tempo e a che distanza da C l'auto più veloce raggiunge quella più lenta?
Svolgimento
Il problema presenta il moto di due corpi che si muovono di moto rettilineo uniforme lungo uno stesso tragitto.
Per poter rispondere alle domande del problema, è necessario scrivere le equazioni orarie relative alle due auto.
Ricordiamo che la legge oraria di un moto rettilineo uniforme deve essere del tipo
S(t) = V · t + So
in cui:
V è la velocità costante
t è il tempo
So è lo spazio iniziale in cui il corpo si trova all'istante t=0
Le due auto si muovono dunque a velocità costanti che valgono rispettivamente:
Va = 100 km/h
Vb = 50 km/h
Poiché le due auto si muovono nello stesso verso, che scegliamo come positivo nel nostro sistema di riferimento, le due velocità hanno segno positivo.
Poniamo l'origine del sistema di riferimento nel punto in cui parte A, per cui concludiamo che lo spazio iniziale di partenza per A e B valgono:
SoA = 0
SoB = + 20 km
Possiamo dunque scrivere le due leggi orarie:
SA = 100 · t
SB = 50 · t + 20
Poiché il problema chiede di calcolare l'istante in cui si incontreranno le due auto, ciò si traduce nel calcolare quando lo coordinata spaziale in cui si trova A coinciderà con quella in cui si trova B ovvero :
SA = SB = S
Risolviamo dunque il sistema di due equazioni in due incognite S e t rispettivamente:
{ S = 100 · t
{ S = 50 · t + 20
Uguagliamo i due membri a destra dell'uguale:
100 · t = 50 · t + 20
50 · t = 20
t = ⅖ h = 0,4 h
che tradotto in minuti (ricordando che in un minuto ci sono 60 secondi) vale 0,4 · 60 = 24 minuti
Pertanto l'auto più veloce raggiungerà quella più lenta dopo 0,4 h (24 minuti) dalla partenza.
Per calcolare invece il punto esatto in cui i due corpi si incontrano, basta semplicemente sostituire il valore appena ricavato di t in una delle due equazioni presenti nel sistema. Otterremo lo stesso risultato di S, per cui scegliamo di inserire il valore di t nella prima equazione, quella più semplice:
S(0,4)= 100 · 0,4 = 40 km = 40 chilometri
Questa rappresenta la distanza dal casello A. Il testo chiedeva invece la distanza di tale punto da un terzo casello C. Il casello C dista 50 km da A, per cui il punto di incontro disterà
d = 50 km - 40 km = 10 km
Per cui la distanza dal casello C in cui le due auto si incontro vale 10 km.
In definitiva l'auto A raggiungerà l'auto B dopo 0,4 ore e a 10 km da C.
Studia con noi