Traiettoria parabolica di un pallone
Traiettoria parabolica di un pallone da calcio
Un calciatore imprime un calcio ad un pallone che parte per la sua traiettoria parabolica con velocità orizzontale e verticale rispettivamente di 12 m/s.
Determinare:
1) l'ampiezza dell'angolo che forma la velocità iniziale col suolo
2) l'altezza raggiunta dopo 0,1 secondi che il pallone si trova in volo
3) l'altezza massima e il tempo impiegato a raggiungerla
4) la gittata e il tempo impiegato a toccare terra
Se il portiere si trova a 50 m dal punto di lancio, a che velocità deve correre perché possa recuperare la palla prima che essa tocchi terra?
Svolgimento
Il problema tratta del moto parabolico con lancio obliquo di un pallone calciato da un calciatore.
L'unico dato che ci viene fornito è quello relativo alle velocità orizzontali e verticali iniziali:
Vox = 12 m/s
Voy = 12 m/s
L'angolo α che la velocità iniziale V0 forma con l'asse x è calcolabile a partire dalle due componenti x e y:
tg α = Voy / Vox
α = arctg (Voy / Vox) = arctg 1 = 45°
Per cui l'angolo di lancio vale 45°.
Scriviamo le due leggi orarie che descrivono il moto nelle due direzioni x e y:
Sostituendo i dati:
Al tempo t = 0,1 s l'altezza Y sarà pari a:
Y = -4,9·(0,1)2 + 12·(0,1) = 1,151 m
L'altezza massima Hmax vale:
Hmax = (Vo · senα)2 / (2 · g)
in cui Vo è il modulo della velocità iniziale, ovvero la diagonale del quadrato che ha lato 12:
Vo = 
· 12 m/s
Quindi:
Hmax = (Vo · senα)2 / (2 · g) = ( · 12 · sen45)2 / (2 · 9,8) = 7,35 m
Sostituendo a Y il valore dell'altezza massima si ottiene un'equazione di secondo grado da cui è possibile ricavare il tempo necessario per il pallone a giungere a tale quota
7,35 = - 4,9 · t2 + 12 · t
4,9 · t2 - 12 · t + 7,35 = 0
La gittata, ovvero il cammino orizzontale percorso prima di toccare terra, vale:
Mentre il tempo impiegato a percorrere tale distanza vale:
t = G/12 = 29,3/12 = 2,44 s
Il portiere si trova a 50 m dal punto di lancio, per cui dovrà percorrere uno spazio d rispetto al punto in cui atterra la palla che vale:
d = 50 - 29,3 = 20,7 m
il tempo massimo per raggiungere la palla nel punto in cui tocca il suolo vale:
t = 2,44 s
quindi la velocità minima è:
V = d/t = 20,7/2,44 = 8,5 m/s = 8,5 · 3,6 = 30,5 km/h.
In definitiva l'ampiezza dell'angolo che la velocità iniziale forma col suolo è 45°;
l'altezza raggiunta dopo 0,1 secondi che il pallone si trova in volo vale 1,151 m;
l'altezza massima e il tempo impiegato a raggiungerla valgono rispettivamente 7,35 m e 1,22 s;
la gittata e il tempo impiegato a toccare terra 29,3 m e 2,44 s;
infine il portiere deve correre a 30,5 km/h per raggiungere la palla prima che tocchi il suolo.
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