Periodo del moto armonico

Esercizio sul periodo del moto armonico

Un punto si sta muovendo di moto armonico semplice lungo una retta tra i due estremi +A e -A con periodo pari a T.

Dopo che è trascorso un tempo t pari a 0,25·T, il punto si trova in una posizione positiva. Stabilire per ognuno dei seguenti tempi se la posizione del punto risulta positiva, negativa o nulla:

t=1,5 · T

t=2 · T

t=3,25 · T

t= 4,75 · T

Se T = 3,14 s e A = 25 cm scrivere le equazioni che legano spazio, velocità ed accelerazione al tempo.

Svolgimento

Il punto si sta muovendo di moto armonico semplice oscillando tra due estremi di una retta, +A e -A.

Poniamo per semplicità il punto +A a destra e -A a sinistra e nel punto medio ci sarà l'origine 0.

L'unico dato che ci fornisce il problema è che trascorso un tempo t pari a:

t = 0,25 · T

il corpo si trova nel semiasse positivo della retta, per cui all'istante iniziale esso si trova in corrispondenza dell'origine

x = 0

e sta viaggiando verso destra verso A.

Infatti 0,25 · T vuol dire che è trascorso un tempo pari a ¼ del periodo T.

Ricordiamo che il periodo T è definito come il tempo necessario ad eseguire un'oscillazione completa. Nel nostro caso, poiché il punto partiva da x = 0, ovvero dall'origine, un ciclo completo che dura T è composto da 4 fasi:

il punto parte da 0 e si dirige verso A:

il punto arriva in A ed inverte il moto verso 0;
il punto oltrepassato 0 entra nel semiasse negativo verso -A
il punto arriva in -A ed inverte il moto verso 0.

Quindi ogni fase dura ¼ del periodo T.

Veniamo ora alle richieste del problema.

Valutiamo la posizione del punto al tempo t = 1,5 · T.

1,5 · T = T + 0,5 · T

Per cui un intervallo di tempo di 1,5 volte il periodo vuol dire che il punto ha percorso un intero ciclo (T) ed è ritornato in 0; aggiungiamo mezzo ciclo ancora (0,5·T) ed il punto, dopo aver raggiunto l'estremo +A, ritorna nel punto di partenza cioè 0.

Al tempo t = 2·T = T + T ovvero due volte il periodo, corrispondono due cicli interamente percorsi. Il punto per cui si troverà ancora in corrispondenza di 0.

Al tempo t = 3,25·T = 3·T + 0,25·T corrispondono tre cicli completi in cui il punto si ritrova nuovamente nel punto di partenza, lo zero, e un quarto di ciclo (0,25·T) in cui il punto si troverà in +A, punto di massima ampiezza positiva.

Infine al tempo t = 4,75·T = 4·T + 0,75·T corrispondono quattro cicli completi in cui il punto si ritrova nuovamente nel punto di partenza, lo zero, e ¾ di ciclo (0,75·T), in cui il punto raggiunge A (0,25·T), ritorna in 0 (0,25·T) e arriva in -A (0,25·T), ovvero nel punto di massima ampiezza negativa.

Se il periodo del moto vale

T = 3,14 s

allora la velocità angolare vale:

ω = 2 · π / T = 2 · 3,14 / 3,14 = 2 rad/s

L'ampiezza A secondo i dati del problema vale:

A = 25 cm = 0,25 m

Per scrivere le tre equazioni che regolano spazio, velocità e accelerazione in funzione del tempo bisogna tenere conto del fatto che secondo i dati del problema il corpo all’istante t = 0 si trova nella posizione x = 0 e non in un estremo. Per cui non possiamo utilizzare la funzione x(t) = A∙ cos(ω∙ t) in quanto il coseno per t = 0, quando cioè il suo argomento è nullo, vale 1 e la posizione risulterebbe pari ad A.

Per ovviare a questo inconveniente si potrebbe utilizzare la funzione seno al posto del coseno oppure introdurre uno sfasamento al coseno. Seno e coseno infatti risultano due funzioni identiche quando sono sfasate di 90°, π/2 in radianti, tra di loro.

Per cui possiamo scrivere:

x(t) = A∙ sin(ω∙ t) = A∙ cos(ω∙ t - π/2 )= 0,25∙cos(2∙ t - π/2)

tenendo presente l’espressione per la posizione

x(t)= A∙ cos(ω∙ t - π/2)

otterremo rispettivamente per la velocità e l’accelerazione:

v(t) = - A∙ ω∙ sen(ω∙ t - π/2) = - 0,25∙2∙ sen(2∙ t- π/2) = -0,5∙ sen(2∙ t- π/2)

a(t) = - A∙ ω² ∙cos(ω∙ t - π/2) = - 0,25∙2² ∙cos(2∙ t- π/2) = - cos(2∙ t- π/2)

mentre:

t = 1,5 · T corrisponde x = 0

t = 2 · T corrisponde x = 0

t = 3,25 · T corrisponde x= +A

t = 4,75 · T corrisponde x = -A