Angolo di inclinazione di due fili
Angolo di inclinazione di due fili a cui sono sospesi due sferette cariche elettricamente
Due sferette dotate della medesima carica elettrica q e di uguale massa m sono sospese ciascuna ad un filo isolante di lunghezza L; ogni filo risulta appeso allo stesso punto.
Le due sfere, una volta in equilibrio, si portano a distanza d tra di loro e ogni filo risulta inclinato di un angolo α rispetto alla verticale in maniera simmetrica.
Determinare la relazione esistente tra q e α.
Discutere il risultato.
Svolgimento
La situazione descritta dal problema è la seguente:
Le due sfere entrambe di massa m, sono dotate della medesima carica elettrica q e sono in equilibrio tra di loro.
L'uguaglianza di carica fa si che esse si respingano con una forza elettrica tale da far inclinare i due fili che le sorreggono di un angolo α rispetto alla verticale.
I dati a nostra disposizione sono dunque i seguenti:
Q1 = Q2 = Q
L
α
m1 = m2 = m
Il problema chiede proprio di determinare la relazione esistente tra q e α.
Su ogni singola sfera agiscono le seguenti forze:
- la forza di Coulomb che tende a farle respingere
- la forza peso diretta verso il basso
- la tensione del filo
Rappresentiamo tali forze:
Scriviamo i moduli relativi alla forza peso e alla forza elettrica:
|P| = m · g
|Fe| = K0 ·Q2/d2
in cui d è la distanza tra le due sferette, calcolabile mediante considerazioni trigonometriche.
Prendiamo in esame il triangolo rettangolo formato dal un filo, L, da metà distanza d e dalla verticale che congiunge l'apice da cui si originano i fili fino a toccare la congiungente delle due sfere.
Possiamo scrivere che:
L · senα = d/2
Da cui
d = 2 · L · senα
E poiché ogni singola sferetta è in equilibrio, imponiamo che la somma di tutte le componenti x ed y di ogni forza sia nulla.
Sull'asse orizzontale avremo:
Fe - T · senα = 0
Mentre su quello verticale:
T · cosα - m·g = 0
Dalle due precedenti equazioni possiamo pertanto ricavare i valori incogniti di T ed m.
Ricaviamo T dalla seconda e sostituiamo nella prima
T · cosα - m·g = 0
T · cosα = m·g
T = m·g / cosα
Per cui:
Fe - T · senα = 0
Fe - (m·g / cosα) · senα = 0
Fe - m·g · (sen α / cosα) = 0
E poiché
senα / cosα = tgα
otteniamo
Fe - m · g · tgα = 0
Poiché come già visto
|Fe| = K0 ·Q2/d2
otteniamo
K0 ·Q2/d2 - m · g · tgα = 0
Poiché
d = 2 · L · senα
scriviamo
Riformuliamo la precedente esplicitando la carica elettrica in funzione dell'angolo:
La relazione appena ricavata mostra come la conoscenza dell'angolo di inclinazione del filo, possa ricondurre al valore della carica presente.
Tale risultato è alla base del funzionamento, con buona approssimazione, dell'elettroscopio a foglie, ipotizzando la carica elettrica come concentrata in un punto e non su tutta la superficie della foglia.
La relazione tra q ed α è di tipo non lineare.
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