Sferette cariche elettricamente sospese a due fili

Esercizio su sferette cariche elettricamente sospese a due fili

Due sferette identiche di massa 100 mg ciascuna e portanti ciascuna una carica Q sono sospese a due fili di massa trascurabile, isolanti e di lunghezza 20 cm.

Le due sfere, una volta raggiunto l'equilibrio, si portano ad una distanza tra di loro tale che ogni filo forma con la verticale un angolo di 30°.

Si determini la carica di ciascuna sferetta.

Svolgimento

La situazione descritta dal problema è la seguente:

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Le due sfere entrambe di massa m = 100 mg e carica elettrica Q sono in equilibrio tra di loro e si respingono con una forza elettrica tale da far inclinare i due fili che le sorreggono di un angolo α =30° rispetto alla verticale.

I dati a nostra disposizione sono dunque i seguenti:

Q₁ = Q₂ = Q

L = 20 cm = 0,2 m

α =30°

m = 100 mg = 10^-4 kg

Il problema chiede proprio di calcolare il valore della carica elettrica presenta su ciascuna sfera.

Su ogni singola sfera agiscono le seguenti forze:

la forza di Coulomb che tende a farle respingere
la forza peso diretta verso il basso
la tensione del filo

Rappresentiamo tali forze:

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Scriviamo i moduli relativi alla forza peso e alla forza elettrica:

|P| = m · g

|Fe| = K₀ ·Q²/d²

in cui d è la distanza tra le due sferette, calcolabile mediante considerazioni trigonometriche.

Prendiamo in esame il triangolo rettangolo formato dal un filo, L, da metà distanza d e dalla verticale che congiunge l'apice da cui si originano i fili fino a toccare la congiungente delle due sfere.

Possiamo scrivere che:

L · senα = d/2

Da cui

d = 2 · L · senα

E poiché ogni singola sferetta è in equilibrio, imponiamo che la somma di tutte le componenti x ed y di ogni forza sia nulla.

Sull'asse orizzontale avremo:

Fe - T · sen α = 0

Mentre su quello verticale:

T · cosα - m·g = 0

Dalle due precedenti equazioni possiamo pertanto ricavare i valori incogniti di T ed m.

Ricaviamo T dalla seconda e sostituiamo nella prima

T · cosα - m·g = 0