Applicazione del teorema di Bernoulli ad un condotto orizzontale
Esercizio sul teorema di Bernoulli applicato ad un condotto orizzontale
Si ha la necessità di far fuoriuscire un fluido posto all'interno di una siringa senza ago, posta in orizzontale, alla velocità di 15 cm/s.
Stabilire quale differenza di pressione ci deve essere tra lo stantuffo e il beccuccio da cui fuoriesce il fluido, se il rapporto tra le due sezioni vale 20 e il fluido contenuto all'interno della siringa ha densità pari a quella dell'acqua.
Svolgimento
Il problema presenta un caso di applicazione del teorema di Bernoulli, con la semplificazione di condotto orizzontale.
Secondo il teorema di Bernoulli, nella siringa in cui scorre il fluido di densità ρ presi i due punti (stantuffo e beccuccio) in cui il fluido scorre con velocità V1 e V2, con pressione P1 e P2 e dette h1 e h2 le quote dei due punti rispetto ad un riferimento orizzontale, vale la seguente equazione:
P1 + ρ · g · h1 + ½ · ρ · V12 = P2 + ρ · g · h2 + ½ · ρ · V22
Dividendo entrambi i membri per ρ · g otteniamo:
Per cui:
Essendo la siringa posta in orizzontale:
h1 = h2
dunque possiamo semplificare entrambe le quote h in tutti e due i membri ed otteniamo:
Possiamo semplificare g:
I dati a nostra disposizione sono:
V2 = 15 cm/s = 0,15 m/s
S1/S2 = 20 (essendo il rapporto >1 deve essere la sezione più grande rapportata a quella più piccola, non viceversa altrimenti il rapporto sarebbe stato compreso tra 0 e 1)
ρ = 1000 kg/m3 (uguale alla densità dell'acqua)
Il nostro obiettivo è determinare la differenza di pressione P1 - P2 per cui dobbiamo prima ricavare il valore della velocità con cui il fluido si muove all'interno della siringa.
Nell'ipotesi di fluido ideale, ovvero incomprimibile, possiamo applicare il principio della continuità:
Q = S · v = costante
in cui
- Q è la portata del fluido;
- S è la superficie della siringa attraversata dal fluido;
- v la velocità.
Per cui possiamo scrivere per i due punti in considerazione:
S1 · V1 = S2 · V2
da cui
V1 = (S2 / S1) · V2 = (1/20) · 0,15 = 0,0075 m/s = 0,75 cm/s
Dunque la velocità del fluido in corrispondenza dello stantuffo è pari a 0,75 cm/s.
Riscriviamo l'equazione appena ricavata:
Portiamo i termini contenenti la pressione a primo membro isolandoli:
Per cui la differenza di pressione che deve sussistere è pari a 11,2 Pa, ovvero bisogna applicare tale pressione per far fuoriuscire il fluido con la velocità desiderata.
Studia con noi