Applicazione della legge di Bernoulli
Esercizio e applicazione della legge di Bernoulli
In un'abitazione è presente una pompa che attraverso un tubo di diametro 3,5 cm porta l'acqua dal piano della strada al primo piano, che si trova ad 8 metri di altezza, ad una velocità di 0,5 m/s e ad una pressione di 206 kPa.
Il tubo passando al primo piano si restringe fino ad un diametro di 1,1 cm.
Determinare la pressione al primo piano.
Svolgimento
I dati forniti dal problema sono:
d1 = 3,5 cm = 3,5 · 10-2 m
d2 = 1,1 cm = 1,1 · 10-2 m
V1 = 0,5 m/s
P1 = 206 kPa = 2,06 · 105 Pa
ρ = 1000 kg/m3 (densità dell'acqua)
h1 = 0 m
h2 = 8 m
Per determinare la pressione al primo piano dell'edificio, dobbiamo applicare il teorema di Bernoulli.
Per potere scrivere l'equazione manca tuttavia il dato relativo alla velocità una volta che l'acqua è giunta al primo piano.
Per cui, nell'ipotesi di fluido ideale, ovvero incomprimibile, vale l'equazione di continuità:
Q = S · v = costante
in cui
- Q è la portata del fluido;
- S è la superficie del condotto attraversata dal fluido;
- v la velocità.
Per cui possiamo scrivere per i due punti in considerazione posti alle due altezze che:
A1 · V1 = A2 · V2
Ora avendo il diametro, l'area della superficie è pari a:
A = π · (d/2)2
Per cui la velocità V2 al primo piano vale:
V2 = (A1 / A2) · V1 = [π · (d1/2)2] / [π · (d2/2)2] · V1
V2 =(d1 / d2)2 · V1 = (3,5/1,1)2 · 0,5 = 5,06 m/s
Ricordiamo il teorema di Bernoulli che afferma che dato un condotto in cui scorre un fluido di densità ρ presi due punti del condotto in cui il fluido scorre con velocità V1 e V2, con pressione P1 e P2 e dette h1 e h2 le quote dei due punti rispetto ad un riferimento orizzontale, vale la seguente equazione:
P1 + ρ · g · h1 + ½ · ρ · V12 = P2 + ρ · g · h2 + ½ · ρ · V22
Dividendo entrambi i membri per ρ · g otteniamo:
Per cui:
Dalla precedente si ha che:
Da cui:
Per cui:
P2 = 114923 Pa = 1,15 · 105 Pa = 115 kPa
Pertanto la pressione con cui l'acqua arriva al primo piano è pari a 115 kPa.
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