Lastra metallica conduttrice tra due armature
Lastra metallica conduttrice tra due armature di un condensatore
Un condensatore piano a facce parallele è collegato ad un generatore di tensione che eroga una ddp costante di 12 V.
Il condensatore ha una capacità di 100 nF e la distanza tra le armature è di 0,5 cm.
Successivamente viene introdotta parallelamente ed a metà tra le due armature una lastra metallica di spessore 0,3 cm.
Calcolare:
la nuova capacità del condensatore;
il campo elettrico totale nelle parti vuote;
la variazione di carica fornita dal generatore.
Svolgimento
Riportiamo i dati elencati nel problema e schematizziamo con un disegno la situazione proposta:
C = 100 nF = 100 · 10-9 F
V = 12 V
d = 0,5 cm = 0,5 · 10-2 m
h = 0,3 cm = 0,3 · 10-2 m
Il condensatore inizialmente possiede una capacità di 100 nF; tale capacità dipende dalle sue caratteristiche fisiche secondo la relazione:
C = ε0 · A/d
in cui
- ε0 è la costante dielettrica relativa nel vuoto e vale 9 · 10-12 C2/(N · m2)
- A è la superficie delle armature
- d la distanza tra esse.
L'area delle armature vale pertanto:
A = C · d / ε0
Una volta introdotta la lastra metallica conduttrice tra le due armature, è come se si creassero due nuovi condensatori, la cui area delle armature è sempre la medesima A, ma stavolta la distanza delle armature è data dalla distanza esistente tra le armature originarie e ognuna delle due facce del dielettrico interposto.
Chiamiamo d' tale distanza che vale:
d' = (d - h) /2 = (0,5 - 0,3)/2 = 0,1 cm
Per cui la capacità di ognuno dei due condensatori sarà data da:
C1' = ε0 · A/d'
Sostituiamo ad A la sua espressione ricavata precedentemente:
Ora i due nuovi condensatori creatisi possiedono la stessa capacità in quanto possiedono la stessa superficie delle armature e la medesima distanza tra di esse:
C1' = C2' = C · d /d'
Una volta interposta la lastra di dielettrico, risultano collegati in serie e sappiamo che la capacità equivalente di un sistema di due condensatori posti in serie è pari a:
Per calcolare il campo elettrico presente nelle due parti vuote ricorriamo all'espressione in funzione della tensione e della distanza tra le armature come:
E = V/d
dove V è la differenza di potenziale fra le armature e d la distanza vuota fra le armature stesse.
Dunque il campo elettrico totale che si viene a creare nei due nuovi condensatori è pari a:
E = V / (d - h) = 12 / [(0,5 - 0,3) · 10-2] = 6000 V/m
Calcoliamo infine la variazione di carica esistente sul condensatore.
Inizialmente la carica valeva:
Q0 = C · V
mentre quella finale dopo la posizione della lastra:
Q1 = C' · V
Dunque la variazione di carica è pari a:
ΔQ = Q1 - Q0 = C' · V - C · V = V · (C' - C)
Sostitundo i dati in nostro possesso, si ha che:
ΔQ = 12 · (250 - 100) · 10-9 = 1800 · 10-9 C = 1,8 · 10-6 C
Ricapitolando:
La capacità del condensatore una volta posta la lastra di dielettrico vale 250 nF, il campo elettrico esistente nelle parti vuote è 6000 V/m e la variazione di carica fornita dal generatore è pari a 1,8·10-6 C.
Link correlati:
Collegamento di due o più condensatori in parallelo
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