Differenza di potenziale ai capi di una bobina
Calcolo della differenza di potenziale ai capi di una bobina
Una bobina lunga 40 cm è realizzata attraverso un filo di rame (ρ = 1,7 ∙ 10-8 Ω∙m) che ha la sezione quadrata con lato pari a 1 mm. Il diametro del solenoide risulta pari a 30 mm.
Ai capi del solenoide è applicata una ddp tale per cui si genera al suo interno un campo magnetico di intensità pari a 2,52 mT.
Determinare il valore della differenza di potenziale applicata ai capi della bobina.
Svolgimento dell'esercizio
I dati a nostra disposizione sono:
- L = 40 cm
- ρ = 1,7 ∙ 10-8 Ω∙m
- l = 1 mm
- D = 30 mm
- B = 2,52 mT
Il problema chiede di ricercare la differenza di potenziale V applicata ai capi del solenoide tale per cui al suo interno scorra una corrente elettrica i che produca il campo magnetico di intensità data B.
Possiamo calcolare tale tensione a partire dalla prima legge di Ohm visto che abbiamo i dati per calcolare la resistenza R del filo.
Dalla prima legge di Ohm infatti segue che:
V = R ∙ i
Per calcolare la resistenza del filo di rame utilizziamo la seconda legge di Ohm per cui la resistenza R di un conduttore è pari a:
R = ρ ∙ L / S
in cui:
- ρ è il coefficiente di resistività tipico di ogni materiale e si misura in Ω∙m (nel nostro caso vale ρ = 1,7 ∙ 10-8 Ω∙m);
- L è la lunghezza del filo conduttore;
- S la sua sezione in m2.
In particolare non conosciamo né la lunghezza intera del filo avvolto né tantomeno la sua sezione. Tuttavia sappiamo che la sezione del filo è a forma quadrata di lato l dunque il valore della sua sezione sarà pari al quadrato del lato:
S = l2
Inoltre possiamo calcolare il numero di avvolgimenti del filo presenti nel solenoide considerando che la sua lunghezza L pari a 40 cm è costituita da N volte il lato della sezione del filo:
Quindi:
N ∙ l = L
Da cui:
N = L/l
Per ottenere la lunghezza totale del filo L moltiplichiamo la lunghezza della circonferenza sezione del solenoide, di cui è noto il diametro D, per il numero di avvolgimenti N:
L = N∙ π∙ D
Combinando tutte queste considerazioni e formule otteniamo che la resistenza del filo di rame che costituisce il solenoide è pari a:
Per determinare la corrente i che scorre nel solenoide partiamo dall'espressione che consente di calcolare il campo magnetico all'interno del solenoide quando è immerso nel vuoto è la seguente:
in cui:
- μ0 è la permeabilità magnetica nel vuoto e vale 4∙π∙10-7 N/A2
- N è il numero di avvolgimenti del solenoide
- L la sua lunghezza
- i l'intensità di corrente elettrica che lo attraversa.
Da questa formula risulta che i è pari a:
Allora la tensione V ai capi del solenoide vale:
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