Legge di Darcy
Che cosa afferma la legge di Darcy?
La legge di Darcy è una legge dell'idraulica che ha importanti applicazioni in idrogeologia e descrive il comportamento cinetico di un fluido in un mezzo poroso.
Un mezzo poroso è un mezzo materiale solido composto da grani la cui superficie è impermeabile; i grani sono distaccati gli uni dagli altri da spazi interstiziali e quindi attraverso i quali il fluido può muoversi.
Permeabilità di un suolo
Si definisce permeabilità la proprietà del suolo che permette a un fluido come l'acqua di poter scorrere attraverso i vuoti tra i suoi grani.
Grani più grandi di terreno permetteranno al fluido di scorrere meglio attraverso i loro vuoti che saranno più interconnessi consentendo di avere un flusso maggiore di acqua.
L'unità di misura della permeabilità di un terreno è il cm/s cioè ha le stesse dimensioni di una velocità anche se non rappresenta una velocità.
I valori di permeabilità di un terreno dipendono sia dal tipo di terreno sia dal tipo di liquido; in particolare per l'acqua i valori di permeabilità dei più comuni terreni sono dell'ordine:
Per cui risulta che terreni sabbiosi sono i suoli con più alta permeabilità mentre quelli argillosi sono caratterizzati dalla più bassa permeabilità.
Nei terreni argillosi i vuoti sono presenti, talvolta anche in percentuali elevate, ma non consentono facilmente la circolazione dell'acqua a causa dell'elevato volume e della struttura flocculata.
La legge di Darcy
Immaginiamo un condotto di lunghezza L di area trasversale pari ad A con all'interno della sabbia, posto in maniera tale da creare un dislivello di quota in cui viene fatta entrare acqua che scorrerà verso il basso per la differenza di potenziale gravitazionale.
Il condotto è dotato due canne piezometriche in cui il liquido raggiungerà due diversi livelli a causa delle diverse pressioni raggiunte.
Detto Δh la differenza di quota raggiunta nelle due canne si definisce gradiente idraulico i il rapporto tra Δh e L:
i = Δh / L
Il gradiente idraulico è una grandezza adimensionale cioè un numero puro.
Possiamo inoltre definire la velocità di deflusso del fluido v come il rapporto tra la portata Q misurata in m3/s e la sezione trasversale del condotto A in m2:
v = Q / A
Quale è il legame tra il gradiente idraulico e la velocità del fluido nel condotto?
Il grafico che lega gradiente idraulico e velocità del flusso è un tipico grafico di due grandezze direttamente proporzionali fino ad un certo valore di gradiente idraulico che identifica un comportamento da flusso laminare del fluido.
Aumentando ancora il gradiente idraulico si entra in una zona di transizione che porta infine ad una condizione di flusso turbolento.
Nella zona di flusso laminare dunque la velocità del fluido ha una relazione di tipo lineare col gradiente idraulico e tale comportamento fu studiato per la prima volta dal francese Henry Darcy e porta proprio il suo nome conosciuta come legge di Darcy.
Enunciato della legge di Darcy
La legge di Darcy afferma che la velocità di flusso di un fluido tra due punti nel suolo è direttamente proporzionale al gradiente idraulico applicato:
v α i
le due grandezze sono legate da una costante di proporzionalità k per cui:
v = k ∙ i
la costante k è detta coefficiente di permeabilità.
Si può dunque definire il coefficiente di permeabilità come il rapporto costante tra la velocità di flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso e il gradiente idraulico applicato
k = v / i
Per gradiente idraulico unitario il coefficiente di permeabilità coincide con la velocità di flusso del fluido.
Possiamo esprimere la portata in termini di gradiente idraulico come:
Il flusso del fluido in realtà non avviene però attraverso l'intera sezione del mezzo poroso ma solo attraverso gli spazi vuoti tra i grani del mezzo.
Dette A e v l'area trasversale della conduttura e v la velocità apparente che il fluido avrebbe su tale superficie e As e vs rispettivamente le superfici dei vuoti tra i grani e la velocità effettiva del fluido attraverso di essi, per l'equazione di continuità possiamo affermare che le due portate devono essere uguali:
Per cui la velocità effettiva del fluido attraverso i vuoti vale:
Se moltiplichiamo e dividiamo per la lunghezza del condotto L, A∙L rappresenterà il volume totale del condotto mentre il prodotto As per L rappresenterà il volume totale dei vuoti:
Per cui la velocità del fluido attraverso i vuoti è il rapporto tra la velocità del fluido lungo tutta la conduttura ed il rapporto tra il volume dei vuoti sul volume totale della conduttura:
Il rapporto Vv/V si definisce porosità n del materiale per cui la velocità effettiva vs del fluido si può esprimere come:
La porosità di un materiale è sempre inferiore a 1 per cui la velocità effettiva del fluido sarà sempre maggiore della velocità apparente.
Approssimazione della legge di Darcy
La legge di Darcy è formulata basandosi su queste ipotesi:
- Il suolo è saturo di fluido tutti i vuoti tra i grani sono completamente riempiti dal fluido;
- Il flusso del fluido attraverso i vuoti è di tipo laminare e non turbolento.
Esempio
Determinare il gradiente idraulico nella situazione schematizzata in figura in cui si ha un dislivello di 2 m del fluido attraverso due canne piezometriche su una lunghezza di 1000 m.
Detto Δh la differenza di quota raggiunta nelle due canne si definisce gradiente idraulico i il rapporto tra Δh e L:
i = Δh / L
per cui in questo caso vale:
i = Δh / L = 2 / 1000 = 0,002
Studia con noi