Dimostrazione del teorema di Gauss

Come è possibile dimostrare il teorema di Gauss?

Vuoi sapere come è possibile dimostrare il teorema di Gauss?

Vuoi conoscere i passaggi della dimostrazione del teorema di Gauss?

Se si continua con la lettura dell'articolo. In questa pagina del sito vedremo infatti che cosa afferma il teorema di Gauss e come è possibile dimostrarlo.

Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è pari alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie divisa per la costante dielettrica nel vuoto ε₀ :

formula del teorema di Gauss

Dimostrazione del teorema di Gauss

Consideriamo una carica puntiforme Q per esempio positiva ed una superficie sferica posta ad una certa distanza r dalla carica con centro coincidente proprio sulla carica.

Ora immaginiamo di suddividere la superficie di questa sfera in tante piccolissime superfici ognuna di area ΔS_i tale che la somma di tutte queste piccole porzioni di superfici della sfera diano proprio la superficie totale che è pari a 4∙π∙r² con r raggio della sfera e distanza di ogni punto della superficie della sfera dalla carica Q:

ΔS₁ + ΔS₂ + ΔS₃ +……+ ΔS_n = 4∙π∙r²

Il campo elettrico generato dalla caria positiva Q avrà le linee di campo radiali uscenti dalla carica dirette verso ogni punto della superficie della sfera.

Essendo ogni elemento in cui è stata suddivisa la superficie della sfera molto piccolo, il vettore campo risulterà parallelo alla normale di ogni piccolo elemento di area ΔS.

Dunque il flusso del campo elettrico calcolato attraverso ogni elementino di area sarà pari al prodotto tra modulo del campo elettrico e area stessa (essendo l'angolo zero tra la normale ed il campo).

dimostrazione del teorema di gauss

Allora il flusso totale del campo elettrico sarà pari alla somma di tutti i flussi di campo elettrico calcolati attraverso ogni superficie di area ΔS:

Φ_sfera(E) = Φ₁ + Φ₂ + ….+ Φ_n = E₁ ∙ ΔS₁ + E₂ ∙ ΔS₂ +…+ E_n ∙ ΔS_n

Ma i campi calcolati E₁, E₂, E₃….E_n sono tutti uguali in quanto il modulo del campo elettrico generato da una carica puntiforme dipende dal modulo della carica Q che è costante e dalla distanza a cui si ci pone da essa.

Tutti i punti della superficie sferica sono posti alla stessa distanza dalla carica. Così avremo che:

E₁, E₂, E₃….E_n = E = K₀ ∙ Q /r²

Allora il flusso risulterà pari a:

Φ_sfera(E) = E₁ ∙ ΔS₁ + E₂ ∙ ΔS₂ +…+ E_n ∙ ΔS_n

Φ_sfera(E) = E∙ (ΔS₁ + ΔS₂ +…+ ΔS_n)

Φ_sfera(E) = (K₀ ∙Q /r²) ∙ (ΔS₁ + ΔS₂ +…+ ΔS_n)

E ricordando che:

ΔS₁ + ΔS₂ +…+ ΔS_n = 4 ∙ π ∙ r²

Si ottiene in definitiva:

Φ_sfera(E) = (K₀ ∙Q /r²) ∙ (ΔS₁ + ΔS₂ +…+ ΔS_n) = (K₀ ∙Q /r²) ∙ (4 ∙ π ∙ r²)

Ricordando che la costante elettrica nel vuoto vale:

k₀ = 1 / (4 ∙ π ∙ ε₀)