Esercizio sul principio dei vasi comunicanti
Esercizio svolto sul principio dei vasi comunicanti
Due vasi comunicanti contengono un fluido di densità pari a 900 kg/m3.
Alle due estremità sono posti due pistoni di raggio e massa rispettivamente pari a: 14 cm, 4 kg e 5 cm, 2,2 kg.
Calcolare la differenza di altezza del fluido nei due vasi.
Svolgimento
Il problema presenta una situazione in cui sono presenti due vasi comunicanti.
I due vasi contengono lo stesso fluido di densità pari a:
ρ = 900 kg/m3
Per il principio dei vasi comunicanti, le pressioni ai due rami del contenitore deve essere la medesima:
P1 = P2
Ora ciò che agisce in ogni ramo è:
- la pressione atmosferica Patm;
- la pressione della colonna di liquido che si trovano rispettivamente ad altezza h1 ed h2;
- la pressione esercitata dalla forza peso di ogni pistone.
Per cui possiamo scrivere:
P1 = P2
Patm + ρ·g·h1 + m1·g/S1 = Patm + ρ·g·h2 + m2·g/S2
Possiamo semplificare il termine relativo alla pressione atmosferica, che agendo in ogni ramo si annulla:
ρ·g·h1 + m1·g/S1 = ρ·g·h2 + m2·g/S2
Dai dati del problema ricaviamo:
m1 = 4 kg
m2 = 2,2 kg
r1 = 14 cm = 0,14 m
r2 = 5 cm = 0,05 m
Calcoliamo le aree dei due pistoni:
S1 = π·r12= 3,14·(0,14)2 = 0,062 m2
S2 = π·r22= 3,14·(0,05)2 = 0,008 m2
Ritorniamo all'espressione iniziale:
ρ·g·h1 + m1·g/S1 = ρ·g·h2 + m2·g/S2
Il nostro obiettivo è ricercare la differenza di altezza tra i due rami, per cui h1-h2:
ρ·g·h1 - ρ·g·h2 = m2·g/S2 - m1·g/S1
Semplifichiamo g:
ρ·h1 - ρ·h2 = m2/S2 - m1/S1
raccogliamo ρ:
ρ·( h1 - h2) = m2/S2 - m1/S1
Da cui:
Dunque la differenza di altezza tra i due rami del contenitore è pari a 23 cm.
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