Bernoulli e conduttura inclinata in cui scorre dell'acqua
Applicazione della legge di Bernoulli e conduttura inclinata in cui scorre dell'acqua
Una conduttura in cui scorre dell'acqua è posta in modo tale che la seconda estremità è posta 50 cm più in alto rispetto alla prima, ed è aperta ed a contatto con l'atmosfera.
La portata con cui scorre il fluido all'interno è pari a 5 litri / minuto.
La sezione del tubo al primo estremo vale 2 cm2, mentre la sezione al secondo estremo, quello rialzato, vale 0,5 cm2.
Calcolare:
1) quanta acqua fluisce nel tubo in 3 secondi;
2) la velocità dell'acqua ai due estremi;
3) quanto vale la pressione all'estremo di entrata.
Svolgimento
Chiamiamo rispettivamente A e B le due estremità del tubo presentato nell'esercizio.
In tale conduttura scorre dell'acqua, considerata come fluido ideale.
Ci viene detto che il tubo è posto in maniera inclinata tale per cui l'estremo B risulta 50 cm più in alto rispetto all'estremo A, quello in cui entra l'acqua.
Inoltre viene detto che l'estremo B è aperto ed è a contatto con l'atmosfera.
Ciò significa che mentre l'acqua avrà una certa pressione in A, in B avrà la stessa pressione di quella atmosferica.
Riportiamo tutti i dati in un elenco ordinato:
hA = 0
hB = 50 cm = 0,5 m
PB = 1,01 · 105 Pa (pressione atmosferica)
Q = 5 litri / minuto = 5 · 10-3 m3/60s = 8,33 · 10-5 m3/s (portata del fluido in unità del S.I.)
SA = 2 cm2 = 2 · 10-4 m2
SB = 0,5 cm2 = 0,5 · 10-4 m2
ρ = 1000 kg/m3 (densità dell'acqua)
La prima richiesta dell'esercizio richiede quanta acqua fluisce nel tubo in un intervallo t = 3 s.
Ricordando che la portata Q è definita come
Q = V/t
il volume V sarà dato dal
V = Q · t = 8,33 · 10-5 · 3 = 0,00025 m3 = 0,25 dm3 = 0,25 litri
Passiamo adesso al calcolo delle velocità del fluido nelle due estremità, nell'ipotesi di fluido ideale, ovvero incomprimibile, vale l'equazione di continuità:
Q = S · v = costante
in cui
Q è la portata del fluido che rimane costante
S è la superficie del condotto attraversata dal fluido
v la velocità.
Per cui possiamo scrivere per i due punti in considerazione:
vA = Q/SA = 8,33 · 10-5 /2 · 10-4 = 0,42 m/s = 41,7 cm/s
vB = Q/SB = 8,33 · 10-5 /0,5 · 10-4 = 1,67 m/s
Passiamo ora al calcolo della pressione in corrispondenza dell'estremo di entrata dell'acqua.
Secondo il teorema di Bernoulli, nel condotto in cui scorre il fluido di densità ρ presi i due punti (estremo A ed estremo B) in cui il fluido scorre con velocità VA e VB, con pressione PA e PB e dette hA e hB le quote dei due punti rispetto ad un riferimento orizzontale, vale la seguente equazione:
PA + ρ · g · hA + ½ · ρ · VA2 = PB + ρ · g · hB + ½ · ρ · VB2
Dividendo entrambi i membri per ρ · g otteniamo:
Per cui:
Considerando come riferimento orizzontale la quota di A (hA = 0), scriviamo:
Da cui ricaviamo la pressione in A:
Moltiplichiamo entrambi i membri per (ρ · g):
In definitiva:
- nel tubo fluiscono 0,25 litri di acqua in 3 secondi
- le velocità ai due estremi sono rispettivamente di 0,42 m/s e 1,67 m/s
- la pressione nell'estremità di ingresso vale 1,07 · 105 Pa
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