Esercizio sulla legge di Bernoulli
Esercizio svolto sulla legge di Bernoulli
Il corpo di una siringa di forma cilindrica ha un diametro di 1,2 cm.
Esso contiene un fluido che ha densità doppia rispetto a quella dell'acqua.
Se si esercita una forza di 1 N sullo stantuffo, sapendo che l'ago ha una sezione di diametro 100 µm, calcolare la velocità di fuoriuscita del fluido dall'ago.
Se si pone la siringa in verticale, a che altezza arriverà il getto del fluido?
Svolgimento
La siringa può essere schematizzata come una conduttura orizzontale attraverso la quale passa il fluido in questione.
Scriviamo e riordiniamo nelle corrette unità di misura i dati forniti:
d1 = 1,2 cm = 1,2 · 10-2 m
d2 = 100 µm = 10-4 m
F = 1 N
ρ = 2000 kg/m3 (doppio della densità dell'acqua)
Possiamo calcolare la differenza di pressione del fluido tra l'ago e lo stantuffo, dalla definizione stessa di pressione intesa come rapporto tra la forza esercitata sullo stantuffo e la sua sezione:
P1 - P2 = F / [π·(d1/2)2] = 1 / [3,14 · (1,2 · 10-2/2)2] = 8850 Pa
Considerando fermo il fluido nella parte iniziale:
v1 = 0
possiamo allora applicare il teorema di Bernoulli:
P1 + ρ · g · h1 + ½ · ρ · V12 = P2 + ρ · g · h2 + ½ · ρ · V22
Dividendo entrambi i membri per ρ · g otteniamo:
Per cui:
Essendo la siringa orizzontale:
h1 = h2
Dunque possiamo semplificare entrambe le quote h in tutti e due i membri ed otteniamo:
Possiamo semplificare g:
Il nostro obiettivo è determinare V2, per cui:
Considerando questa velocità, quella iniziale quando fuoriesce il liquido, se si pone la siringa in verticale, il fluido si eleverà secondo le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato e l'altezza massima raggiunta sarà pari a:
In definitiva la velocità con cui esce il fluido dalla siringa vale 3 m/s e l'altezza a cui arriverebbe il fluido se la siringa fosse posta in verticale vale 0,45 m.
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