Esercizio sul ciclotrone
Esercizio sul ciclotrone e l'accelerazione di protoni
Un ciclotrone è una macchina utilizzata per accelerare particelle cariche attraverso correnti alternate ed un campo magnetico perpendicolare alla velocità delle particelle.
Queste percorrendo una traiettoria a spirale, una volta raggiunto il bordo esterno, fuoriescono a velocità prossime a quella della luce.
Se in un ciclotrone vengono utilizzati protoni che raggiungono una velocità massima di 3 ·107 m/s con un campo magnetico di 1,5 T, calcolare:
1) il raggio dell'orbita dei protoni alla velocità massima
2) la frequenza dell'orbita
3) l'energia massima espressa in eV.
Svolgimento
Il problema presenta una situazione legata ad un ciclotrone.
Come spiegato nel testo, all'interno di tale macchinario (che ha molteplici scopi quali quello medico, scientifico ecc…) un fascio di particelle cariche viene accelerato tramite delle correnti e fatto passare attraverso un campo magnetico che ne determina la traiettoria a spirale a causa della forza di Lorentz.
Tale traiettoria a spirale è fondamentale in quanto le particelle ruotano attorno a degli elettrodi che ad ogni passaggio consentono di variarne la velocità, accelerandole fino a una velocità massima che nel nostro caso vale:
Vmax = 3 ·107 m/s
L'intensità del campo magnetico invece è:
B = 1,5 T
I dati relativi alla particella:
mp = 1,67 · 10-27 kg (massa del protone)
q = 1,6 · 10-19 C (carica del protone)
Il problema chiede di calcolare il raggio dell'orbita dei protoni alla velocità massima, trattandosi di moto circolare.
All'interno del ciclotrone la forza di Lorentz eguaglierà la forza centripeta che permette il moto circolare per cui:
Florentz = Fcentripeta
da cui
q · Vmax · B · senα = m · V2 / R
in cui
q è la carica della particella
Vmax la sua velocità massima
B l'intensità del campo magnetico
α l'angolo tra v e B che sono perpendicolari quindi α = 90° e sen α = 1
m la massa della particella
R il raggio della traiettoria circolare.
Ricaviamo dunque il raggio della traiettoria:
R = (m · Vmax)/( q · B · sen α)
Ovvero:
R = (1,67 ·10-27 ·3 ·107) / ( 1,6 ·10-19 · 1,5) = 0,208 m = 20,8 cm
Ricordando che in un moto circolare la velocità e la frequenza f sono legati dalla seguente relazione:
V = 2 · π · R · f
Ricaviamo la frequenza in corrispondenza della velocità massima:
f = Vmax / (2 · π · R) = 3 ·107 / (2 · 3,14 · 0,208) = 22,9 · 106 Hz = 22,9 MHz
L'energia massima in corrispondenza di Vmax è l'energia cinetica associata alla particella, che varrà:
E = K = ½ · m · Vmax2 = 0,5 ·1,67 ·10-27 · (3 ·107)2 = 7,5 ·10-13 J
Il problema richiede però l'energia in eV (elettronvolt) e non in J, ricordando che
1 J = 6,24 ·1018 eV
E = 7,5 · 10-13 · 6,24 · 1018 = 46,8 ·105 eV
In definitiva il raggio della traiettoria dei protoni all'interno del ciclotrone in corrispondenza della velocità massima vale 0,208 m, la frequenza 22,9 MHz e l'energia 46,8 ·105 eV.
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